Question

如圖1，矩形OABC，O為原點(diǎn)，點(diǎn)E在AB上，把△CBE沿CE折疊，使點(diǎn)B落在OA邊上的點(diǎn)D處，A、D坐標(biāo)分別為（10，0）和（6，0），拋物線y=

1

5

x2+bx+c過點(diǎn)C、B．
（1）求B點(diǎn)的坐標(biāo)及該拋物線的解析式；
（2）如圖2，矩形PQRS的長(zhǎng)、寬一定，點(diǎn)P沿（1）中的拋物線滑動(dòng)，在滑動(dòng)過程中PQ∥x軸，且RS在PQ的下方，當(dāng)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為-1時(shí)，點(diǎn)S位于x軸上方且距離x軸

11

5

個(gè)單位．當(dāng)矩形PQRS在滑動(dòng)過程中被x軸分成上下兩部分的面積比為2：3時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖3，動(dòng)點(diǎn)M、N同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，點(diǎn)M以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段OD運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N以每秒8個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線OCD按O→C→D的路線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)M、N中的其中一點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)M、N同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)t秒時(shí)，△OMN的面積為S．求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：CD=CB，因此在已知A、D的坐標(biāo)情況下，能得到CB、CD、OD的長(zhǎng)，在Rt△OCD中，利用勾股定理即可求出OC的長(zhǎng)，則B點(diǎn)坐標(biāo)可求；再利用待定系數(shù)法就能求得拋物線的解析式．
（2）將點(diǎn)P的橫坐標(biāo)-1代入（1）的拋物線解析式中即可求得點(diǎn)P到x軸的距離，再由“點(diǎn)S位于x軸上方且距離x軸

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5

個(gè)單位”即可求出PS的長(zhǎng)；當(dāng)矩形PQRS的面積被x軸分割成上2下3時(shí)，由于兩個(gè)小矩形的寬相同，所以它們的面積比等于長(zhǎng)的比，即此時(shí)的PS被x軸分割成上2下3的情況，結(jié)合PS的長(zhǎng)，即可得到此時(shí)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，代入拋物線的解析式中就能求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）由于點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)過程為：O→C→D，所以整體要分兩個(gè)階段考慮：
①點(diǎn)N在線段OC上時(shí)，首先用t表達(dá)出OM、ON的長(zhǎng)，以O(shè)M為底、ON為高，不難得到△OMN的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；
②點(diǎn)N在線段CN上時(shí)，OM的長(zhǎng)易知，關(guān)鍵是求出OM上的高，先過點(diǎn)N作OD的垂線NH，由∠CDO的正弦值可求出NH的表達(dá)式，以O(shè)M為底、NH為高即可求得關(guān)于S、t的函數(shù)關(guān)系式．

解答：解：（1）由矩形OCBA得：∠COA=∠BAO=90°，OC=AB，BC=OA=10；
由△CBE沿CE翻折得到△CED，得 CD=CB=10，
由勾股定理得：OC=

CD2-OD2

=

102-62

=8，
得：C（0，8），B（10，8）；
又C、B均在y=

1

5

x2+bx+c上，代入，得：

c=8 1 5 ×100+10b+c=8

，解得

c=8 b=-2

∴y=

1

5

x2-2x+8．

（2）當(dāng)x=-1時(shí)，y=

1

5

×(-1)2-2×(-1)+8，此時(shí)P(-1，

51

5

)；
又由S距離x軸上方

11

5

個(gè)單位，得：PS=

51

5

-

11

5

=8，∴矩形PQRS的長(zhǎng)為8．
設(shè)PQRS在下滑過程中交x軸分別于G、H兩點(diǎn)．
則由題意知：

S矩形PQHG

S矩形HGSR

=

2

3

，即

PG

GS

=

2

3

∴PG=

2

5

PS=

16

5

；
故P的縱坐標(biāo)為

16

5

，設(shè)P(a，

16

5

)，則：

1

5

a2-2a+8=

16

5

，得：a₁=4，a₂=6
∴P(4，

16

5

)或(6，

16

5

)．

（3）①當(dāng)0≤t≤1時(shí)，此時(shí)M在OD上，N在OC上．
∴S△MON=

1

2

OM•ON=

1

2

×3t×8t=12t2；
②當(dāng)1＜t≤2時(shí)，此時(shí)M在OD上，N在CD上．則DN=18-8t
過N作NH⊥OD于H，則

NH

ND

=

OC

CD

=

4

5

，得：
NH=

4

5

DN=

4

5

(18-8t)=

8

5

(9-4t)
∴S△ONM=

1

2

•NH•OM=

1

2

×

8

5

(9-4t)•3t=-

48

5

t2+

108

5

t；
綜上，S=

12t2(0＜t≤1) - 48 5 t2+ 108 5 t(1＜t≤2)

．

點(diǎn)評(píng)：題目的敘述和給出的圖形看起來較為復(fù)雜，但通過讀題后可以發(fā)現(xiàn)題目的難度并不大；（1）題中，利用好折疊圖形的特點(diǎn)是關(guān)鍵；（2）題中，只要求出PS的長(zhǎng)題目也就解了一大半；最后一題求的是分段函數(shù)，三角形面積的求法應(yīng)熟練掌握，在對(duì)自變量進(jìn)行分段時(shí)，要注意抓住“關(guān)鍵點(diǎn)”（即點(diǎn)N、C重合時(shí)），這在解答此類題目時(shí)是通用的方法．