Question

（2013•茂名）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E是AB邊的中點(diǎn)，DE與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．
（1）求證：△ADE≌△BFE；
（2）若DF平分∠ADC，連接CE．試判斷CE和DF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由全等三角形的判定定理AAS證得結(jié)論；
（2）由（1）中全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等推知點(diǎn)E是邊DF的中點(diǎn)，∠1=∠2；根據(jù)角平分線的性質(zhì)、等量代換以及等角對(duì)等邊證得DC=FC，則由等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)推知CE⊥DF．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC．
又∵點(diǎn)F在CB的延長(zhǎng)線上，
∴AD∥CF，
∴∠1=∠2．
∵點(diǎn)E是AB邊的中點(diǎn)，
∴AE=BE．
∵在△ADE與△BFE中，

∠1=∠2 ∠DEA=∠AEB AE=BE

，
∴△ADE≌△BFE（AAS）；

（2）解：CE⊥DF．理由如下：
如圖，連接CE．
由（1）知，△ADE≌△BFE，
∴DE=FE，即點(diǎn)E是DF的中點(diǎn)，∠1=∠2．
∵DF平分∠ADC，
∴∠1=∠3，
∴∠3=∠2，
∴CD=CF，
∴CE⊥DF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)．在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊、對(duì)頂角以及公共角．