Question

如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB交AB于點E，點F是AC上一點，∠FDC=∠CAB．
（1）求證：CF=BE；
（2）若ED、AC的延長線交于點G，F(xiàn)G=8，CD=3，求AB的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)條件，AD平分∠BAC，DE⊥AB可以得出CD=DE，∠BDE=∠CDF，可以得出△FCD≌△BED，從而得出結(jié)論；
（2）根據(jù)條件可以得出∠FDC=∠GDC，進而得出∠FDC=∠GDC，得出△FDC≌△GDC，得出FC=GC，由條件可以求出CG的值，根據(jù)勾股定理可以求出GD的值，進而得出BD的值，再由△BED∽△BCA，由其性質(zhì)就可以求出AB的值．

解答：解：（1）∵∠ACB=90°，
∴DC⊥AC．
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴CD=DE，∠DEB=90°．
∴∠EDB+∠B=90°，∠FCD=∠BED．
∵∠CAB+∠B=90°，
∴∠EDB=∠BAC．
∵∠FDC=∠CAB，
∴∠EDB=∠FDC．
∵在△FCD和△BED中，

∠FCD=∠BED CD=ED ∠FDC=∠BDE

，
∴△FCD≌△BED（SAS），
∴FC=BE；

（2）∵在△GCD和△BED中，

∠GCD=∠BED CD=ED ∠GDC=∠BDE

，
∴△GCD≌△BED（ASA），
∴GD=BD，CG=BE，
∴GC=FC=

1

2

FG=4，
∴BE=4
∵CD=3，
∴DE=3．
在Rt△GDC中，由勾股定理，得
GD=5，
∴BD=5，
∴BC=8．
∵∠B=∠B，∠BDE=∠BAC，
∴△BDE∽△BAC，
∴

BD

BA

=

BE

BC

，
∴

5

AB

=

4

8

，
∴AB=10．
答：AB的長是10．

點評：本題考查了角平分線的性質(zhì)的運用，三角形全等的判定及性質(zhì)的運用，勾股定理的運用及相似三角形的判定及性質(zhì)的運用，解答第一問時證明三角形全等是關(guān)鍵，第二問時證明三角形相似是求值的關(guān)鍵．