Question

如圖，四邊形ABCD是正方形，M是BC的中點(diǎn)，CM=2．點(diǎn)P是BD上一動(dòng)點(diǎn)，則PM+PC的最小值是

 

．

Answer 1

分析：由四邊形ABCD是正方形，即可得AB=BC，∠ABC=90°，且A與C關(guān)于直線BD對(duì)稱，則可得連接AM，AM與BD的交點(diǎn)，即為所求的P點(diǎn)，然后利用勾股定理即可求得PM+PC的最小值．

解答：解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，且A與C關(guān)于直線BD對(duì)稱，
∴連接AM，AM與BD的交點(diǎn)，即為所求的P點(diǎn)，
∴PA=PC，
∵CM=2，M是BC的中點(diǎn)，
∴BM=CM=2，AB=BC=2CM=4，
在Rt△ABM中，AM=

AB2+BM2

=2

5

，
∴PM+PC=PM+PA=AM=2

5

，
∴PM+PC的最小值是2

5

．
故答案為：2

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正方形的性質(zhì)與軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理，以及線段垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，解題的關(guān)鍵是得到P點(diǎn)的準(zhǔn)確位置．