【題目】已知O為直線AB上的一點,∠COE是直角,OF平分∠AOE(圖中所說的角都是小于平角的角).
(1)如圖1,若∠COF=28°,則∠BOE=______°;若∠COF=則∠BOE=_______;∠BOE與∠COF的數(shù)量關(guān)系為_________;
(2)將∠COE繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置時,(1)中∠BOE和∠COF的數(shù)量關(guān)系否仍然成立?若成立,請說明理由?若不成立,求出∠BOE與∠COF的數(shù)量關(guān)系;
(3)當∠COE繞點O順時針旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時,(1)中∠BOE和∠COF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立?若成立,請說明理由;若不成立,請求出∠BOE與∠COF的數(shù)量關(guān)系.
【答案】(1) 56°;2m°;∠BOE=2∠COF;(2)成立,理由詳見解析;(3)∠BOE和∠COF的關(guān)系不成立,∠BOE和∠COF的關(guān)系為∠BOE+2∠EOF=360°,理由詳見解析.
【解析】
(1)已知∠COF=28°,∠COE是直角,由此求得∠EOF=62°,再由OF平分∠AOE,根據(jù)角平分線的定義可得∠AOE=2∠EOF=124°,再由平角的定義即可求得∠BOE=56°;由∠COF=m°,∠COE是直角,可得∠EOF=90°-m°,已知OF平分∠AOE,由角平分線的定義可得∠AOE=2∠EOF=2(90°-m°),即可求得∠BOE=2m°,由此可得∠BOE=2∠COF;(2)成立,類比(1)的方法解答即可;(3)不成立,已知∠COE是直角,可得∠EOF=∠COF-90°,已知OF平分∠AOE,由角平分線的可得∠AOE=2∠EOF,再由平角的定義可得∠BOE=180°-∠AOE=180°-2(∠COF-90°)=360°-2∠COF,由此可得∠BOE+2∠EOF=360°.
(1)∵∠COF=28°,∠COE是直角,
∴∠EOF=90°-28°=62°,
又∵OF平分∠AOE,
∴∠AOE=2∠EOF=124°,
∴∠BOE=180°-124°=56°,
∵∠COF=m°,∠COE是直角,
∴∠EOF=90°-m°,
又∵OF平分∠AOE,
∴∠AOE=2∠EOF=2(90°-m°),
∴∠BOE=180°-2(90°-m°)=2m°,
∴∠BOE=2∠COF.
故答案是56°;2m°;∠BOE=2∠COF;
(2)∠BOE和∠COF的關(guān)系依然成立.
∵∠COE是直角,
∴∠EOF=90°-∠COF,
又∵OF平分∠AOE,
∴∠AOE=2∠EOF,
∴∠BOE=180°-∠AOE=180°-2(90°-∠COF)=2∠COF.
(3)∠BOE和∠COF的關(guān)系不成立.理由如下:
∵∠COE是直角,
∴∠EOF=∠COF-90°,
又∵OF平分∠AOE,
∴∠AOE=2∠EOF,
∴∠BOE=180°-∠AOE=180°-2(∠COF-90°)=360°-2∠COF.
∴∠BOE+2∠EOF=360°.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】.如圖①,在△ABC 中,D、E 分別是 AB、AC 上的點,AB=AC,AD=AE,然后將△ADE 繞點 A 順時針旋轉(zhuǎn)一定角度,連接 BD,CE,得到圖②,將 BD、CE 分別延長至 M、N,使 DM= BD,EN=CE,得到圖③,請解答下列問題:
(1)在圖②中,BD 與 CE 的數(shù)量關(guān)系是 ;
(2)在圖③中,猜想 AM 與 AN 的數(shù)量關(guān)系,∠MAN 與∠BAC 的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校為了解學生對“A:古詩詞,B:國畫,C:京劇,D:書法”等中國傳統(tǒng)文化項目的最喜愛情況,在全校范圍內(nèi)隨機抽取部分學生進行問卷調(diào)查(每人限選一項),并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下不完整的統(tǒng)計圖.
請結(jié)合統(tǒng)計圖回答下列問題:
(1)在這次調(diào)查中,一共調(diào)查了名學生;在扇形統(tǒng)計圖中,項目B對應扇形的圓心角是度;
(2)如果該校共有2000名學生,請估計該校最喜愛項目A的學生有多少人?
(3)若該校在A、B、C、D四項中任選兩項成立課外興趣小組,請用畫樹狀圖(或列表)計算恰好選中項目A和D的概率.
故答案為:200,72;
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某中學八年級班數(shù)學課外興趣小組在探究:“邊形共有多少條對角線”這一問題時,設(shè)計了如下表格:
多邊形的邊數(shù) | … | |||||
從多邊形一個頂點出發(fā)可引起的對角線條數(shù) | … | |||||
多邊形對角線的總條數(shù) | … |
探究:假若你是該小組的成員,請把你研究的結(jié)果填入上表;
猜想:隨著邊數(shù)的增加,多邊形對角線的條數(shù)會越來越多,從邊形的一個頂點出發(fā)可引的對角線條數(shù)為多少,邊形對角線的總條數(shù)為多少.
應用:個人聚會,每不相鄰的人都握一次手,共握多少次手?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】四邊形ABCD的對角線交于點E,有AE=EC,BE=ED,以AB為直徑的半圓過點E,圓心為O.
(1)利用圖1,求證:四邊形ABCD是菱形.
(2)如圖2,若CD的延長線與半圓相切于點F,已知直徑AB=8. ①連結(jié)OE,求△OBE的面積.
②求弧AE的長.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知A(1,2),B(3,1),C(﹣2,﹣1).
(1)在圖中作出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1.
(2)直接寫出點A1,B1,C1的坐標.
A1 , B1 , C1 。
(3)請你求出△A1B1C1的面積.
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【題目】在平面直角坐標系中,點A(0,6),B(8,0),AB=10,如圖作∠DBO=∠ABO,∠CAy=∠BAO,BD交y軸于點E,直線DO交AC于點C.
(1)①求證:△ACO≌△EDO;②求出線段AC、BD的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系;
(2)動點P從A出發(fā),沿A﹣O﹣B路線運動,速度為1,到B點處停止運動;動點Q從B出發(fā),沿B﹣O﹣A運動,速度為2,到A點處停止運動.二者同時開始運動,都要到達相應的終點才能停止.在某時刻,作PE⊥CD于點E,QF⊥CD于點F.問兩動點運動多長時間時△OPE與△OQF全等?
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【題目】定義:如果兩個等腰三角形的頂角互補,頂角的頂點又是同一個點,而且它們的腰也分別相等,則稱這兩個三角形互為“頂補等腰三角形”.
(1)如圖1,若△ABC與△ADE互為“頂補等腰三角形”.∠BAC>90°,AM⊥BC于M,AN⊥ED于N.求證:DE=2AM;
(2)如圖2,在四邊形ABCD中,AD=AB,CD=BC,∠B=90°,∠A=60°,在四邊形ABCD的內(nèi)部是否存在點P,使得△PAD與△PBC互為“頂補等腰三角形”?若存在,請給予證明,若不存在,請說明理由.
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【題目】在正方形ABCD中,點E是對角線AC上的動點(與點A,C不重合),連接BE.
(1)將射線BE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)45°,交直線AC于點F.
①依題意補全圖1;
②小研通過觀察、實驗,發(fā)現(xiàn)線段AE,F(xiàn)C,EF存在以下數(shù)量關(guān)系:
AE與FC的平方和等于EF的平方.小研把這個猜想與同學們進行交流,通過討論,形成證明該猜想的幾種想法:
想法1:將線段BF繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段BM,要證AE,F(xiàn)C,EF的關(guān)系,只需證AE,AM,EM的關(guān)系.
想法2:將△ABE沿BE翻折,得到△NBE,要證AE,F(xiàn)C,EF的關(guān)系,只需證EN,F(xiàn)N,EF的關(guān)系.
…
請你參考上面的想法,用等式表示線段AE,F(xiàn)C,EF的數(shù)量關(guān)系并證明;(一種方法即可)
(2)如圖2,若將直線BE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)135°,交直線AC于點F.小研完成作圖后,發(fā)現(xiàn)直線AC上存在三條線段(不添加輔助線)滿足:其中兩條線段的平方和等于第三條線段的平方,請直接用等式表示這三條線段的數(shù)量關(guān)系.
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