Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=4cm，∠A=60°，BD⊥AD．一動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒1cm的速度沿A→B→C的路線勻速運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作直線PM，使PM⊥AD．
（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)，設(shè)直線PM與AD相交于點(diǎn)E，求△APE的面積；
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)，另一動(dòng)點(diǎn)Q也從A出發(fā)沿A→B→C的路線運(yùn)動(dòng)，且在AB上以每秒1cm的速度勻速運(yùn)動(dòng)，在BC上以每秒2cm的速度勻速運(yùn)動(dòng)．過(guò)Q作直線QN，使QN∥PM．設(shè)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（0≤t≤10），直線PM與QN截平行四邊形ABCD所得圖形的面積為Scm²．
①求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
②（附加題）求S的最大值．

Answer 1

分析：（1）在三角形AEP中，AP=2，∠A=60°，利用三角函數(shù)可求出AE和PE，即可求出面積；
（2）①此題應(yīng)分情況討論，因?yàn)閮蓚�(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度不同，所以有點(diǎn)P與點(diǎn)Q都在AB上運(yùn)動(dòng)、點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)點(diǎn)Q仍在AB上運(yùn)動(dòng)、點(diǎn)P和點(diǎn)Q都在BC上運(yùn)動(dòng)三種情況，在每種情況下可利用三角函數(shù)分別求出我們所需要的值，進(jìn)而求解．
②在①的基礎(chǔ)上，首先①求出函數(shù)關(guān)系式之后，根據(jù)t的取值范圍不同函數(shù)最大值也不同．

解答：解：（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)，AP=2cm，由∠A=60°，知AE=1，PE=

3

．（2分）
∴S_△APE=

3

2

；（4分）

（2）①當(dāng)0≤t＜6時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q都在AB上運(yùn)動(dòng)，如圖所示：

設(shè)PM與AD交于點(diǎn)G，QN與AD交于點(diǎn)F，
則AQ=t，AF=

t

2

，QF=

3

2

t，
AP=t+2，AG=1+

t

2

，PG=

3

+

3

2

t．
∴此時(shí)兩平行線截平行四邊形ABCD的面積為S=

3

2

t+

3

2

；（8分）
②當(dāng)6≤t＜8時(shí)，點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q仍在AB上運(yùn)動(dòng)．如圖所示：

設(shè)PM與DC交于點(diǎn)G，QN與AD交于點(diǎn)F，則AQ=t，AF=

t

2

，
DF=4-

t

2

，QF=

3

2

t，BP=t-6，CP=10-t，PG=（10-t）

3

，
而BD=4

3

，故此時(shí)兩平行線截平行四邊形ABCD的面積為S=-

5 3

8

t²+10

3

t-34

3

，（10分）
③當(dāng)8≤t≤10時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q都在BC上運(yùn)動(dòng)．如圖所示：

設(shè)PM與DC交于點(diǎn)G，QN與DC交于點(diǎn)F，則CQ=20-2t，QF=（20-2t）

3

，
CP=10-t，PG=（10-t）

3

．
∴此時(shí)兩平行線截平行四邊形ABCD的面積為S=

3 3

2

t2-30

3

t+150

3

．（14分）
故S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為

3 2 t+ 3 2 ，(0≤t＜6) - 5 3 8 t2+10 3 t-34 3 ，(6≤ t＜8) 3 3 2 t2-30 3 t+150 3 ，(8≤t≤10)

；

②（附加題）當(dāng)0≤t＜6時(shí)，S的最大值為

7 3

2

，（1分）
當(dāng)6≤t＜8時(shí)，S的最大值為6

3

，（舍去），（2分）
當(dāng)8≤t≤10時(shí)，S的最大值為6

3

，（3分）
所以當(dāng)t=8時(shí)，S有最大值為6

3

．（4分）
（如正確作出函數(shù)圖象并根據(jù)圖象得出最大值，同樣給4分）

點(diǎn)評(píng)：此題解答需數(shù)形結(jié)合，把函數(shù)知識(shí)和幾何知識(shí)緊密聯(lián)系在一起，難易程度適中．