【題目】如圖,正方形ABCD的對角線ACBD相交于點O,延長CB至點F,使CF=CA,連接AF,∠ACF的平分線分別交AF,AB,BD于點E,N,M,連接EO,已知BD=

(1)求正方形ABCD的邊長;

(2)求OE的長;

(3)①求證:CNAF;

②直接寫出四邊形AFBO的面積.

【答案】(1)2;(2);(3)①證明見解析,②

【解析】試題分析:(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)以及勾股定理即可求得;(2)根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)證得點EAF中點,依據(jù)三角形中位線OE=CF=;(3) ①通過證明NCB≌△FAB可證得CN=AF; ②依據(jù)AFC的面積-BOC的面積.

試題解析:

(1)∵四邊形ABCD是正方形,

AB=CD=BC,BCD=ABC=90°,

2BC2=BD2,BD=,AB= BC =2,

∴正方形ABCD的邊長為2;

(2)CF=CA,AF是∠ACF的平分線,

CEAF,∴∠AEC=CEF=90°,EAF的中點,

∵正方形ABCD,OAC的中點,AC=BD=,

OE=CF=BD=

(3)①證明:∵∠ABC=ABF=CEF=90°,AB=BC,

∴∠ECB+F=FAB+F=90°,∴∠ECB=FAB,

∴△NCB≌△FAB,

CN=AF.

點睛:本題綜合考查了菱形、矩形、正方形的有關(guān)性質(zhì)及判定,其中還串聯(lián)到等腰三角形和勾股定理等知識,充分體現(xiàn)出幾何知識的整體性和推理的嚴密性在解答有關(guān)特殊四邊形的性質(zhì)或判定問題時,既要依托數(shù),也要依托形,這是解答幾何問題的最基本的思想方法.

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(2)如圖,當AD為ABC的外角平分線時,線段AB、AC、CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請寫出你的猜想,并對你的猜想給予證明。

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