Question

現(xiàn)有邊長(zhǎng)為180厘米的正方形鐵皮，準(zhǔn)備將它設(shè)計(jì)并制成一個(gè)開口的水槽，使水槽能通過的水的流量最大．
某校九年級(jí)（2）班數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)討論得出結(jié)論：在水流速度一定的情況下，水槽的橫截面面積越大，則通過水槽的水的流量越大．為此，他們對(duì)水槽的橫截面，進(jìn)行了如下探索：
（1）方案①：把它折成橫截面為矩形的水槽，如圖．
若∠ABC=90°，設(shè)BC=x厘米，該水槽的橫截面面積為y厘米²，請(qǐng)你寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（不必寫出x的取值范圍），并求出當(dāng)x取何值時(shí)，y的值最大，最大值又是多少？
方案②：把它折成橫截面為等腰梯形的水槽，如圖．
若∠ABC=1 20°，請(qǐng)你求出該水槽的橫截面面積的最大值，并與方案①中的y的最大值比較大�。�
（2）假如你是該興趣小組中的成員，請(qǐng)你再提供一種方案，使你所設(shè)計(jì)的水槽的橫截面面積更大．畫出你設(shè)計(jì)的草圖，標(biāo)上必要的數(shù)據(jù)（不要求寫出解答過程）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題目所給的x的值和矩形梯形的性質(zhì)，求出各線段長(zhǎng)，把面積用含y的代數(shù)式表示出來；
（2）先猜想截面的形狀，再進(jìn)行驗(yàn)證計(jì)算，可多設(shè)計(jì)幾種方案．

解答：解：（1）①當(dāng)BC=x時(shí)，AB=CD=

180-x

2

，y=

180-x

2

x，即y=-

1

2

x²+90x，
當(dāng)x=90時(shí)，y_max=4050
答：當(dāng)x=90cm時(shí)，y值最大，最大值是4050cm²．
②過B、C點(diǎn)分別作BE⊥AD于E，CE⊥AD于F．
設(shè)BC=x，y=

3

16

（-x²+360x+32400）
=-

3

16

x2+

45 3

2

x+2025

3

當(dāng)x=60時(shí)，y=2700

3

≈4676.5．
答：當(dāng)x=60cm時(shí)，y值最大，最大值是4676.5cm²
4676.5＞4050（8分）

（2）正確方案：
例解：當(dāng)截面為半圓時(shí)，因?yàn)?80=πr，所以其半徑為r=

180

π

，其面積為S=

1

2

π（

180

π

）²
≈5156.6＞4676.5，面積更大．
①正八邊形一半，②正十邊形一半，③半圓等．

點(diǎn)評(píng)：此題是一道探索性操作題，根據(jù)圖形特點(diǎn)將面積的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題解答是解題的關(guān)鍵，（2）著重考查了同學(xué)們的實(shí)驗(yàn)探索能力，需要進(jìn)行猜想和驗(yàn)證計(jì)算．