Question

如圖1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BA=5，點P是AC上的動點（P不與A、C重合），設(shè)PC=x，點P到AB的距離為y．

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）試確定Rt△ABC內(nèi)切圓I的半徑，并探求x為何值時，直線PQ與這個內(nèi)切圓I相切？
（3）試判斷以P為圓心，半徑為y的圓與⊙I能否相切？若能，請求出相應(yīng)的x的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）求出BC，證△AQP∽△ACB，得到

PQ

BC

=

AP

AB

，代入求出即可；
（2）求出正方形FIEC，推出IF=IE=CF=CE，求出半徑，證四邊形INQM是正方形，推出PE=PM，代入求出即可；
（3）根據(jù)相切兩圓的性質(zhì)求出PI、PE、IE，根據(jù)勾股定理得到方程，求出方程的解即可．

解答：解：（1）在△ABC中AB=5，AC=4，由勾股定理得：BC=3，
∵∠C=90°，PQ⊥AB，
∴∠C=∠PQA=90°，
∵∠A=∠A，
∴△AQP∽△ACB，
∴

PQ

BC

=

AP

AB

，
即

y

3

=

4-x

5

，
解得：y=-

3

5

x+

12

5

，
答：y與x的函數(shù)關(guān)系式是y=-

3

5

x+

12

5

．

（2）∵圓I是△ABC的內(nèi)切圓，
∴BN=BF，CF=CE，AE=AN，∠IFC=∠IEC=∠C=90°，IE=IF，
∴四邊形FIEC是正方形，
∴IF=IE=CF=CE，
∴3-IE+4-IE=5，
解得：IE=1，
∵∠INQ=∠IMQ=∠NQM=90°，IM=IN，
∴四邊形INQM是正方形，
∴IN=MQ=IE=CE，
∵PE=PM，
∴PQ=PC=x=y，
即x=-

3

5

x+

12

5

，
∴x=

3

2

，
答：Rt△ABC內(nèi)切圓I的半徑是1，x為

3

2

時，直線PQ與這個內(nèi)切圓I相切．

（3）以P為圓心，半徑為y的圓與⊙I能相切．
理由是：連接PI過兩圓的切點，
當(dāng)兩圓外切時，
PQ=y，PE=x-1，IE=1，PI=1+y，
由勾股定理得：1²+（x-1）²=(-

3

5

x+

12

5

+1)2
解得：x₁=

-13+15 5

8

，x₂=

-13-15 5

8

（舍去）
當(dāng)兩圓內(nèi)切時，
PQ=y，PE=x-1，IE=1，PI=y-1，
由勾股定理得：1²+（x-1）²=（-

3

5

x+

12

5

-1）²，
解得：x=

1

4

．
答：以P為圓心，半徑為y的圓與⊙I外切時，x=

-13+15 5

8

；內(nèi)切時x=

1

4

．

點評：本題主要考查對勾股定理，相切兩圓的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，切線長定理，三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心等知識點的理解和掌握，能綜合運用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．