Question

如圖所示，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)A(0，4)、B(-2，0)、C(6，0)．過(guò)點(diǎn)A作AD∥x軸交拋物線于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸，垂足為點(diǎn)E點(diǎn)M是四邊形OADE的對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)F在y軸負(fù)半軸上，且F(0，-2).

（1）求拋物線的解析式，并直接寫出四邊形OADE的形狀；

（2）當(dāng)點(diǎn)P、Q從C、F兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，均以每秒1個(gè)長(zhǎng)度單位的速度沿CB、FA方向

運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到O時(shí)P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，在運(yùn)動(dòng)過(guò)

程中，以P、Q、O、M四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為S，求出S與t之間的函數(shù)關(guān)

系式，并寫出自變量的取值范圍；

（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)N，使以B、C、F、N為頂點(diǎn)的四邊形是梯形？若存在，直

接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；不存在，說(shuō)明理由。

 

第23題圖（1）

Answer 1

解：（1）∵拋物線經(jīng)過(guò)A(0，4)、B(-2，0)、C(6，0)

解得a=-，b=，c=4（或可用交點(diǎn)式求解）

拋物線的解析式為y=-x²+x+4

（或y=-(x+2)(x-6)或y=-(x-2)² +.）

四邊形OADE為正方形.

（2）根據(jù)題意可知OE=OA=4，OC=6，OB=OF=2

∴CE=2  ∴CO=FA=6

∵運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t

∴CP=FQ=t

過(guò)M作MN⊥OE于N，

則MN=2

當(dāng)0≤t＜2時(shí)，OP=6-t，OQ=2-t

∴S=+=(6-t)×2+(6-t)

(2- t)=(6-t)(4-t)   ∴S =t²-5t+12.

當(dāng)t=2時(shí)，Q與O重合，點(diǎn)M、O、P、Q不能構(gòu)成四邊形.

(不寫也可)

當(dāng)2＜t＜6時(shí)，連接MO，ME則MO=ME且∠QOM=∠PEM=45

∵FQ=CP=t，FO=CE=2  ∴OQ=EP

∴△QOM≌△PEM

∴四邊形OPMQ的面積S==×4×2=4

綜上所述，當(dāng)0≤t＜2時(shí)，

S=t-5t+12；當(dāng)2＜t＜6時(shí)， S=4

（3）存在N(1，5)，N(5，)，

N(2+，-2)，N(2-，-2)