Question

已知⊙O的半徑為5cm，弦AB∥弦CD，AB=6cm，CD=8cm，直線(xiàn)OM⊥AB于M點(diǎn)，交CD于N點(diǎn)，則MN=

1cm或7cm

cm．

Answer 1

分析：根據(jù)圓心O的位置分兩種情況考慮：當(dāng)圓心O在兩條弦之間時(shí)，如圖所示，連接OA，OC，由AB與CD平行，OM與AB垂直，根據(jù)和平行線(xiàn)中一條直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)，與另一條也垂直得到ON垂直于CD，利用垂徑定理可得M、N分別為AB、CD的中點(diǎn)，進(jìn)而由AB及CD的長(zhǎng)求出AM及CN的長(zhǎng)，在直角三角形AOM和直角三角形CON中，由半徑OA及OC的值，利用勾股定理分別求出OM及ON的長(zhǎng)，由OM+ON即可求出MN的長(zhǎng)；當(dāng)圓心O在兩條弦同側(cè)時(shí)，如圖所示，同理求出OM及ON的長(zhǎng)，由OM-ON即可求出此時(shí)MN的長(zhǎng)，綜上，得到所有滿(mǎn)足題意的MN的長(zhǎng)．

解答：解：當(dāng)圓心O在AB與CD之間時(shí)，如圖所示：

連接OA，OC，
∵AB∥CD，直線(xiàn)OM⊥AB，
∴ON⊥CD，
∴M、N分別為AB、CD的中點(diǎn)，
又AB=6cm，CD=8cm，
∴AM=

1

2

AB=3cm，CN=

1

2

CD=4cm，
在Rt△AOM中，OA=5cm，AM=3cm，
根據(jù)勾股定理得：OM=

OA2-AM2

=4cm，
在Rt△OCN中，OC=5cm，CN=4cm，
根據(jù)勾股定理得：ON=

OC2-CN2

=3cm，
則MN=OM+ON=4+3=7cm；
當(dāng)圓心O在AB與CD同側(cè)時(shí)，如圖所示：

連接OA，OC，
∵AB∥CD，直線(xiàn)OM⊥AB，
∴ON⊥CD，
∴M、N分別為AB、CD的中點(diǎn)，
又AB=6cm，CD=8cm，
∴AM=

1

2

AB=3cm，CN=

1

2

CD=4cm，
在Rt△AOM中，OA=5cm，AM=3cm，
根據(jù)勾股定理得：OM=

OA2-AM2

=4cm，
在Rt△OCN中，OC=5cm，CN=4cm，
根據(jù)勾股定理得：ON=

OC2-CN2

=3cm，
則MN=OM-ON=4-3=1cm，
綜上，MN=1cm或7cm．
故答案為：1cm或7cm

點(diǎn)評(píng)：此題考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)，垂徑定理，以及勾股定理，利用了數(shù)形結(jié)合及分類(lèi)討論的思想，在圓中，常常根據(jù)垂徑定理由垂直得中點(diǎn)，進(jìn)而由弦長(zhǎng)的一半，圓的半徑及弦心距構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理來(lái)解決問(wèn)題．