Question

如圖，拋物線過點A（x₁，0）、B（x₂，0）、C（0，-8），x₁、x₂是方程

1

2

x²-x-4=0的兩根，且x₁＞x₂，點D是此拋物線的頂點．
（1）求這條拋物線的表達式；
（2）填空：（1）問題中拋物線先向上平移3個單位，再向右平移2個單位，得到的拋物線是

y=（x-3）²-6

；
（3）在第一象限內(nèi)，問題（1）中的拋物線上是否存在點P，使S_△ABP=

1

5

S_{四邊形ABCD}．

Answer 1

分析：（1）設(shè)此拋物線的表達式為y=ax²+bx+c，令y=0，求出x的值，即可以求出點A和點B的坐標，列出a、b、c的方程組，求出a、b、c即可；
（2）根據(jù)平移“上加下減，左加右減”的規(guī)律進行作答；
（3）首先根據(jù)（1）求出的解析式求出D點的坐標，過點D作DE⊥x軸，垂足為E，設(shè)點P的坐標為（m，n），根據(jù)四邊形和三角形面積之間的關(guān)系，求出n的值，進而求出P點的坐標．

解答：解：（1）設(shè)此拋物線的表達式為y=ax²+bx+c
由

1

2

x2-x-4=0得（x-4）（x+2）=0
∵x₁＞x₂，
∴x₁=4，x₂=-2
∴點A的坐標為（4，0），點B的坐標為（-2，0）
∵拋物線經(jīng)過點C（0，-8），
∴c=-8
又∵拋物線經(jīng)過A、B兩點，
∴

16a+4b-8=0 4a-2b-8=0

解得：a=1，b=-2，
故設(shè)此拋物線的表達式為y=x²-2x-8；

（2）y=（x-3）²-6 或y=x²-6x+3；

（3）存在                                
由y=x²-2x-8得y=（x-1）²-9，
點D的坐標是（1，-9），
過點D作DE⊥x軸，垂足為E，設(shè)點P的坐標為（m，n），
∵S_{四邊形ABCD}=S_△OBC+S_梯形EOCD+S_△EAD=

1

2

×2×8+

1

2

×(9+8)×1+

1

2

×3×9=8+

17

2

+

27

2

=30…（7分）S△PAB=

1

2

×6×n=3n
又∵S△PAB=

1

5

S四邊形ABCD
∴3n=

1

5

×30，
∴n=2，
∵點P在拋物線上，
∴x²-2x-8=2，
解得：x1=1+

11

，x2=1-

11

（舍去）
故點P的坐標為（1+

11

，2）．

點評：本題主要考查二次函數(shù)的綜合題的知識，解答本題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和平移的知識，特別是第三問需要弄清楚四邊形和三角形之間的面積關(guān)系，此題難度較大．