Question

如圖，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)B在x軸上，且OA=OB=1，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的直線l交線段AB于點(diǎn)C，過(guò)C作OC的垂線，與直線x=1相交于點(diǎn)P，現(xiàn)將直線L繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使交點(diǎn)C從A向B運(yùn)動(dòng)，但C點(diǎn)必須在第一象限內(nèi)，并記AC的長(zhǎng)為t，分析此圖后，對(duì)下列問(wèn)題作出探究：
（1）當(dāng)△AOC和△BCP全等時(shí)，求出t的值；
（2）通過(guò)動(dòng)手測(cè)量線段OC和CP的長(zhǎng)來(lái)判斷它們之間的大小關(guān)系并證明你得到的結(jié)論；
（3）①設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，b），試寫出b關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式和變量t的取值范圍．
②求出當(dāng)△PBC為等腰三角形時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）△AOC和△BCP全等，則AO=BC=1，又∵AB=

2

，t=AB-BC=

2

-1；
（2）過(guò)點(diǎn)C作x軸的平行線，交OA與直線BP于點(diǎn)T、H，證△OTC≌△CHP即可；
（3）根據(jù)題意可直接得出b=1-

2

t；當(dāng)t=0或1時(shí)，△PBC為等腰三角形，即P（1，1），P（1，1-

2

），但t=0時(shí)，點(diǎn)C不在第一象限，所以不符合題意．

解答：解：（1）△AOC和△BCP全等，則AO=BC=1，
又AB=

2

，
所以t=AB-BC=

2

-1；

（2）OC=CP．
證明：過(guò)點(diǎn)C作x軸的平行線，交OA與直線BP于點(diǎn)T、H．
∵PC⊥OC，
∴∠OCP=90°，
∵OA=OB=1，
∴∠OBA=45°，
∵TH∥OB，
∴∠BCH=45°，又∠CHB=90°，
∴△CHB為等腰直角三角形，
∴CH=BH，
∵∠AOB=∠OBH=∠BHT=90°，
∴四邊形OBHT為矩形，∴OT=BH，
∴OT=CH，
∵∠TCO+∠PCH=90°，
∠CPH+∠PCH=90°，
∴∠TCO=∠CPH，
∵HB⊥x軸，TH∥OB，
∴∠CTO=∠THB=90°，TO=HC，∠TCO=∠CPH，
∴△OTC≌△CHP，
∴OC=CP；

（3）①∵△OTC≌△CHP，
∴CT=PH，
∴PH=CT=AT=AC•cos45°=

2

2

t，
∴BH=OT=OA-AT=1-

2

2

t，
∴BP=BH-PH=1-

2

t，
∴b=1-

2

t；（0＜t＜

2

）
②t=0時(shí)，△PBC是等腰直角三角形，但點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，不在第一象限，所以不符合，
PB=BC，則

2

-t=|1-

2

t|，
解得t=1或t=-1（舍去），
∴當(dāng)t=1時(shí)，△PBC為等腰三角形，
即P點(diǎn)坐標(biāo)為：P（1，1-

2

）．

點(diǎn)評(píng)：主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運(yùn)用．解題的關(guān)鍵是會(huì)靈活的運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)和點(diǎn)的意義表示出相應(yīng)的線段的長(zhǎng)度，再結(jié)合三角形全等和等腰三角形的性質(zhì)求解．試題中貫穿了方程思想和數(shù)形結(jié)合的思想，請(qǐng)注意體會(huì)．