Question

如圖1，已知△ABC中，BC=3，AC=4，AB=5，直線MD是AB的垂直平分線，分別交AB、AC于M、D點．
（1）求線段DC的長度；
（2）如圖2，連接CM，作∠ACB的平分線交DM于N．求證：CM=MN．

Answer 1

分析：（1）連接BD，根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AD=BD，設DC=x，表示出BD=4-x，再根據勾股定理逆定理判斷出∠C=90°，然后利用勾股定理列式計算即可得解；
（2）根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BM=MC，根據等邊對等角可得∠B=∠BCM，然后表示出∠B，再根據四邊形的內角和定理表示出∠MDC與∠B的關系，根據三角形的內角和定理表示出∠MDC，然后列方程求出∠1=∠2，根據等角對等邊即可證明．

解答：（1）解：如圖，連接BD，∵MD是AB的垂直平分線，
∴AD=BD，
設DC=x，則BD=AD=4-x，
在△ABC中，AC²+BC²=4²+3²=25=AB²，
∴∠C=90°，
在Rt△BCD中，DC²+BC²=BD²，
即x²+3²=（4-x）²，
解得x=

7

8

，
即DC的長為

7

8

；

（2）證明：∵M為AB的中點，△ABC是直角三角形，
∴BM=MC，
∴∠B=∠BCM，
∵CN是∠ACB的平分線，
∴∠BCN=45°，
∴∠B=45°+∠1，
在四邊形BCDM中，∠B+90°+∠MDC+90°=360°，
∴∠MDC+∠B=180°，
在△CDN中，∠MDC+45°+∠2=180°，
∴∠MDC=135°-∠2，
∴135°-∠2+45°+∠1=180°，
∴∠1=∠2，
∴CM=MN．

點評：本題考查了線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質，勾股定理的應用，勾股定理逆定理的應用，等角對等邊的性質，（2）根據四邊形的內角和與三角形的內角和定理列式求出兩個角相等是解題的關鍵，也是本題的難點．