如圖,已知△ABC為直角三角形,∠ACB=90°,AC=BC,點(diǎn)A、C在x軸上,點(diǎn)B坐標(biāo)為(3,m)(m>0),線段AB與y軸相交于點(diǎn)D,以P(1,0)為頂點(diǎn)的二次函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、D.
(1)請(qǐng)直接寫出用m表示點(diǎn)A、D的坐標(biāo);
(2)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式;
(3)點(diǎn)Q為二次函數(shù)圖像上點(diǎn)P至點(diǎn)B之間的一點(diǎn),連結(jié)PQ、BQ,求四邊形ABQP面積的最大值.
解:(1)A(3-m,0),D(0,m-3);2分 (2)設(shè)以P(1,0)為頂點(diǎn)的拋物線的解析式為y=a(x-1)2(a≠0) ∵拋物線過(guò)點(diǎn)B、D, ∴;解得;4分 所以二次函數(shù)的解析式為y=(x-1)2, 即:y=x2-2x+1;5分 (3)設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,x2-2x+1),顯然1<x<3;6分 連結(jié)BP,過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥x軸,交BP于點(diǎn)H. ∵A(-1,0),P(1,0),B(3,4) ∴AP=2,BC=3,PC=2 由P(1,0),B(3,4)求得直線BP的解析式為y=2x-2 ∵QH⊥x軸,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,x2-2x+1) ∴點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為x,∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為(x,2x-2) ∴QH=2x-2-(x2-2x+1)=-x2+4x-3;7分 ∴四邊形ABQP面積S=S△APB+S△QPB=×AP×BC+×QH×PC 。×2×4+×(-x2+4x-3)×2 。剑瓁2+4x+1=-(x-2)2+5;9分 ∵1<x<3 ∴當(dāng)x=2時(shí),S取得最大值為5,10分 即當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2,1)時(shí),四邊形ABQP面積的最大值為5. 說(shuō)明:用平行于PB的直線與拋物線相切于點(diǎn)Q的方法而得出準(zhǔn)確結(jié)果不給全分(注:初中階段沒(méi)有解題依據(jù)),可統(tǒng)一扣1分. |
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