Question

如圖，五邊形ABCDE中，AB⊥BC，AE∥CD，∠A=∠E=120°，AB=CD=1，AE=2，則五邊形ABCDE的面積等于    ．

Answer 1

【答案】分析：延長DC，AB交于點F，作AG∥DE交DF于點G，四邊形AFDE是等腰梯形，且∠F=∠D=60°，△AFG是等邊三角形，四邊形AGDE是平行四邊形，求得等腰梯形AFDE的面積和△BCF的面積，二者的差就是所求五邊形的面積．
解答：解：延長DC，AB交于點F，作AG∥DE交DF于點G．
∵AE∥CD，∠A=∠E=120°，
∴四邊形AFDE是等腰梯形，且∠F=∠D=60°，△AFG是等邊三角形，四邊形AGDE是平行四邊形．
設BF=x，
∵在直角△BCF中，∠BCF=90°-∠F=30°
∴FC=2x，
∴FD=2x+1．
∵平行四邊形AGDE中，DG=AE=2，
∴FG=2x-1，
∵△AFG是等邊三角形中，AF=FG，
∴x+1=2x-1，
解得：x=2．
在直角△BCF中，BC=BF•tanF=2，
則S_△BCF=BF•BC=×2×2=2．
作AH⊥DF于點H．
則AH=AF•sinF=3×=，
則S_梯形AFDE=（AE+DF）•AH=×（2+5）•=．
∴S_{五邊形ABCDE}=S_梯形AFDE-S_△BCF=-2=．
故答案是：．
點評：本題考查了等腰梯形的判定與性質，直角三角形的性質，正確求得BF的長是關鍵．