【題目】我市某工藝廠為配合北京奧運(yùn),設(shè)計(jì)了一款成本為20元∕件的工藝品投放市場(chǎng)進(jìn)行試銷.經(jīng)過調(diào)查,得到如下數(shù)據(jù):
銷售單價(jià)x(元/件) | … | 30 | 40 | 50 | 60 | … |
每天銷售量y(件) | … | 500 | 400 | 300 | 200 | … |
(1)把上表中x、y的各組對(duì)應(yīng)值作為點(diǎn)的坐標(biāo),在下面的平面直角坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的點(diǎn),猜想y與x的函數(shù)關(guān)系,并求出函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)銷售單價(jià)定為多少時(shí),工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤最大?最大利潤是多少?(利潤=銷售總價(jià)﹣成本總價(jià))
(3)當(dāng)?shù)匚飪r(jià)部門規(guī)定,該工藝品銷售單價(jià)最高不能超過45元/件,那么銷售單價(jià)定為多少時(shí),工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤最大?
【答案】(1)與的函數(shù)關(guān)系是一次函數(shù)的關(guān)系,
函數(shù)關(guān)系式為y=-10x+800 (20<x<80)
(2)設(shè)工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤為L元
則 L=(x-20)(-10x+800)
=-10(x-50)2+9000
∴當(dāng)銷售單價(jià)定為50元時(shí),每天獲得的利潤最大,最大利潤是9000元。
(3)由(2)知當(dāng)x<50時(shí),y隨x的增大而增大,
∴當(dāng)x=45時(shí)有最大值,
∴當(dāng)銷售單價(jià)定為45元時(shí),每天獲得的利潤最大
【解析】分析:(1)從表格中的數(shù)據(jù)我們可以看出當(dāng)x增加10時(shí),對(duì)應(yīng)y的值減小100,所以y與x之間可能是一次函數(shù)的關(guān)系,我們可以根據(jù)圖象發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)在一條直線上,所以y與x之間是一次函數(shù)的關(guān)系,然后設(shè)出一次函數(shù)關(guān)系式,求出其關(guān)系式.
(2)利用二次函數(shù)的知識(shí)求最大值.
解:(1)畫圖如圖;
由圖可猜想y與x是一次函數(shù)關(guān)系,
設(shè)這個(gè)一次函數(shù)為y=kx+b(k≠0)
∵這個(gè)一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(30,500)、(40,400)這兩點(diǎn),
∴,解得
∴函數(shù)關(guān)系式是:y=-10x+800.
(2)設(shè)工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤是W元,依題意得
W=(x-20)(-10x+800)
=-10x2+1000x-16000
=-10(x-50)2+9000
∴當(dāng)x=50時(shí),W有最大值9000.
所以,當(dāng)銷售單價(jià)定為50元∕件時(shí),工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤最大,最大利潤是9000元.
(3)對(duì)于函數(shù)W=-10(x-50)2+9000,
當(dāng)x≤45時(shí),W的值隨著x值的增大而增大,銷售單價(jià)定為45元∕件時(shí),工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤最大.
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