【題目】已知△ABC內(nèi)接于⊙O,AD平分∠BAC交⊙O于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)K,連接DB、DC.
(1)如圖1,求證:DB=DC;
(2)如圖2,點(diǎn)E、F在⊙O上,連接EF交DB、DC于點(diǎn)G、H,若DG=CH,求證:EG=FH;
(3)如圖3,在(2)的條件下,BC經(jīng)過(guò)圓心O,且AD⊥EF,BM平分∠ABC交AD于點(diǎn)M,DK=BM,連接GK、HK、CM,若△BDK與△CKM的面積差為1,求四邊形DGKH的面積.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析;(3)DGKH的面積:4.
【解析】
(1)根據(jù)題意證明即可.
(2)連接OC、OD、OG、OH,作OM⊥GH.先證明△ODG≌△OCH,然后利用垂徑定理可得結(jié)論.
(3)延長(zhǎng)BM交圓O于P,連接CP、DP,作DQ⊥BM于Q,延長(zhǎng)HD至R,使DR=DG,連接RG.先證DM=DC=DB,將△BDK與△CKM的面積差用BM表示從而求出BM的長(zhǎng),也就知道了DK的長(zhǎng),通過(guò)證明△DBK≌△HRG可知GH與DK相等,而四邊形DGKH的面積就等于GH與DK乘積的一半.
解:(1)∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD,
∴,
∴DB=DC.
(2)如圖2,連接OC、OD、OG、OH,作OM⊥GH.
則OD=OC,
∴∠OCH=∠ODH,
∵,
∴DO⊥BC,
∴∠ODG=∠ODH,
∴∠ODG=∠OCH,
在△ODG和△OCH中:
∴△ODG≌△OCH(SAS),
∴OG=OH,
∵OM⊥GH,
∴GM=MH,EM=FM,
∴EG=FH.
(3)如圖3,延長(zhǎng)BM交圓O于P,連接CP、DP,
作DQ⊥BM于Q,延長(zhǎng)HD至R,使DR=DG,連接RG.
∵BC為直徑,
∴∠BDC=∠BPC=90°,
∵DB=DC,
∴∠DBC=∠DCB=∠BPD=∠CPD=45°,
∵BM平分∠ABC,
,
∴∠PDM=∠PDC,
在△DPM和△DMC中:
∴△DPM≌△DMC(ASA),
∴DM=DC=DB,PC=PM,
∴∠MDQ=∠MDB,BQ=MQ=BM
∴∠QDP=∠QDM+∠MDP=∠BDM+∠MDC=∠BDC=45°,
∴PQ=DQ,
∵DK⊥GH,
∴∠BDK=∠RHG,
∵RD=GD,∠GDR=90°,
∴∠GRH=45°=∠KBD,
又∵GD=CH,
∴RD=CH,
∴RH=CD=BD,
在△DBK和△HRG中:
∴△DBK≌△HRG(ASA),
∴HG=DK=BM.
∵S△BDK﹣S△CKM=1,
∴S△BDM﹣S△CBM=1,
∴﹣=BM(DQ﹣CP)=BM(PQ﹣PM)=BM2=1.
∴BM=2,
∴GH=DK=BM=2,
∴S四邊形DGKH=GHDK=4.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知A0 A1= A1A2= A2A3…,圖中的螺旋形由一系列直角三角形組成,則第n個(gè)三角形的面積為_________,周長(zhǎng)為___________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】知識(shí)改變世界,科技改變生活.導(dǎo)航裝備的不斷更新極大的方便了人們的出行.中國(guó)北斗導(dǎo)航已經(jīng)全球組網(wǎng),它已經(jīng)走進(jìn)了人們的日常生活.如圖,某校組織學(xué)生到某地(用A表示)開展社會(huì)實(shí)踐活動(dòng),車到達(dá)B地后,發(fā)現(xiàn)A地恰好在B地的正北方向,且距離B地10千米.導(dǎo)航顯示車輛應(yīng)沿北偏東60°方向行駛至C地,再沿北偏西45°方向行駛一段距離才能到達(dá)A地.求A、C兩地間的距離.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】距離中考體考時(shí)間越來(lái)越近,年級(jí)想了解初三年級(jí)1512名學(xué)生周末在家體育鍛煉的情況,在初三年級(jí)隨機(jī)抽取了18名男生和18名女生,對(duì)他們周末在家的鍛煉時(shí)間進(jìn)行了調(diào)查,并收集得到了以下數(shù)據(jù)(單位:分鐘)
男生:28,30,32,46,68,39,80,70,66,57,70,95,100,58,69,88,99,105
女生:36,48,78,99,56,62,35,109,29,88,88,69,73,55,90,98,69,72
統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),并制作了如下統(tǒng)計(jì)表:
時(shí)間 | ||||
男生 | 2 | 4 | ||
女生 | 1 | 5 | 9 | 3 |
分析數(shù)據(jù):兩組數(shù)據(jù)的極差、平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如表所示
極差 | 平均數(shù) | 中位數(shù) | 眾數(shù) | 方差 | |
男生 | 77 | 66.7 | 70 | 617.3 | |
女生 | 69.7 | 70.5 | 547.2 |
(1)請(qǐng)將上面的表格補(bǔ)充完整: , , , , ;
(2)已知該年級(jí)男女生人數(shù)差不多,根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù),估計(jì)初三年級(jí)周末在家鍛煉的時(shí)間在90分鐘以上(不包含90分鐘)的同學(xué)約有多少人?
(3)體育老師看了表格數(shù)據(jù)后認(rèn)為初三年級(jí)的女生周末鍛煉做得比男生好,請(qǐng)你結(jié)合統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),寫出兩條支持體育老師觀點(diǎn)的理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)共同承擔(dān)一項(xiàng)筑路任務(wù),甲隊(duì)單獨(dú)施工完成此項(xiàng)任務(wù)比乙隊(duì)單獨(dú)施工完成此項(xiàng)任務(wù)多用10天,且甲隊(duì)單獨(dú)施工45天和乙隊(duì)單獨(dú)施工30天的工作量相同.
(1)甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)任務(wù)各需多少天?
(2)若甲、乙兩隊(duì)共同工作了3天后,乙隊(duì)因設(shè)備檢修停止施工,由甲隊(duì)繼續(xù)施工,為了不影響工程進(jìn)度,甲隊(duì)的工作效率提高到原來(lái)的2倍,要使甲隊(duì)總的工作量不少于乙隊(duì)的工作量的2倍,那么甲隊(duì)至少再單獨(dú)施工多少天?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,BC交⊙O于點(diǎn)D,E是的中點(diǎn),連接AE交BC于點(diǎn)F,∠ACB=2∠EAB.
(1)求證:AC是⊙O的切線;
(2)若cosC=,AC=6,求BF的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】美化城市,改善人們的居住環(huán)境已成為城市建設(shè)的一項(xiàng)重要內(nèi)容.某市城區(qū)近幾年來(lái),通過(guò)拆遷舊房,植草,栽樹,修建公園等措施,使城區(qū)綠地面積不斷增加(如圖所示)
(1)根據(jù)圖中所提供的信息,回答下列問(wèn)題:2001年底的綠地面積為 公頃,比2000年底增加了 公頃;在1999年,2000年,2001年這三年中,綠地面積增加最多的是 年;
(2)為滿足城市發(fā)展的需要,計(jì)劃到2003年底使城區(qū)綠地總面積達(dá)到72.6公頃,試求今明兩年綠地面積的年平均增長(zhǎng)率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線與雙曲線(x>0)交于點(diǎn).
(1)求a,k的值;
(2)已知直線過(guò)點(diǎn)且平行于直線,點(diǎn)P(m,n)(m>3)是直線上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P分別作軸、軸的平行線,交雙曲線(x>0)于點(diǎn)、,雙曲線在點(diǎn)M、N之間的部分與線段PM、PN所圍成的區(qū)域(不含邊界)記為.橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn).
①當(dāng)時(shí),直接寫出區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù);②若區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)不超過(guò)8個(gè),結(jié)合圖象,求m的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3cm,E為CD邊上一點(diǎn),∠DAE=30°,M為AE的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M作直線分別與AD、BC相交于點(diǎn)P、Q.若PQ=AE,則AP等于 cm.
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