Question

【題目】（基礎(chǔ)鞏固）

（1）如圖1，在△ABC中，D為AB上一點(diǎn)，∠ACD＝∠B．求證：AC2＝ADAB．

（嘗試應(yīng)用）

（2）如圖2，在ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，F為CD延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的長(zhǎng)．

（拓展提高）

（3）如圖3，在菱形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的邊長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）AD＝；（3）5﹣2

【解析】

（1）根據(jù)題意證明△ADC∽△ACB，即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)現(xiàn)有條件推出△BFE∽△BCF，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)推斷，即可得到答案；

（3）如圖，分別延長(zhǎng)EF，DC相交于點(diǎn)G，先證明四邊形AEGC為平行四邊形，再證△EDF∽△EGD，可得，根據(jù)EG＝AC＝2EF，可得DE＝EF，再根據(jù)，可推出DG＝DF=5，即可求出答案．

解：（1）證明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，

∴△ADC∽△ACB，

∴，

∴AC2＝ADAB；

（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD＝BC，∠A＝∠C，

又∵∠BFE＝∠A，

∴∠BFE＝∠C，

又∵∠FBE＝∠CBF，

∴△BFE∽△BCF，

∴，

∴BF2＝BEBC，

∴BC＝＝=，

∴AD＝；

（3）如圖，分別延長(zhǎng)EF，DC相交于點(diǎn)G，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB∥DC，∠BAC＝∠BAD，

∵AC∥EF，

∴四邊形AEGC為平行四邊形，

∴AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G，

∵∠EDF＝∠BAD，

∴∠EDF＝∠BAC，

∴∠EDF＝∠G，

又∵∠DEF＝∠GED，

∴△EDF∽△EGD，

∴，

∴DE2＝EFEG，

又∵EG＝AC＝2EF，

∴DE2＝2EF2，

∴DE＝EF，

又∵，

∴DG＝DF=5，

∴DC＝DG﹣CG＝5﹣2．