Question

如圖，AB是半圓O的直徑，且AB=，矩形CDEF內(nèi)接于半圓，點(diǎn)C，D在AB上，點(diǎn)E，F(xiàn)在半圓上．
（1）當(dāng)矩形CDEF相鄰兩邊FC：CD=：2時(shí)，求弧AF的度數(shù)；
（2）當(dāng)四邊形CDEF是正方形時(shí)：
①試求正方形CDEF的邊長(zhǎng)；
②若點(diǎn)G，M在⊙O上，GH⊥AB于H，MN⊥AB于N，且△GDH和△MHN都是等腰直角三角形，求HN的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)圓的對(duì)稱性，矩形CDEF內(nèi)接于半圓可得CO=OD，進(jìn)而得出tan∠FOC==，即可得出弧AF的度數(shù)；
（2）①利用四邊形CDEF是正方形，則FC=2CO，由FC²+CO²=（2）²，求出CO即可；
②根據(jù)△GDH和△MHN都是等腰直角三角形，得出DH=HG，HN=MN，利用OH²+HG²=OG²，求出DH的長(zhǎng)，進(jìn)而利用ON²+NM²=OM²，求出HN的長(zhǎng)即可．
解答：解：（1）連接FO，
根據(jù)圓的對(duì)稱性，矩形CDEF內(nèi)接于半圓可得CO=OD，
∴Rt△COF中，tan∠FOC==，
∴∠FOC=60°，
∴弧AF的度數(shù)為60°；

（2）①∵四邊形CDEF是正方形，
∴FC=2CO，
∵FC²+CO²=（2）²，
解得：CO=2，
∴CF=4，正方形的邊長(zhǎng)為4，
②連結(jié)OG，OM，
∵△GDH和△MHN都是等腰直角三角形，
∴DH=HG，HN=MN
在Rt△OGH中，OH²+HG²=OG²，
設(shè)DH=x，則（2+x）²+x²=（2）²，
解得x=2 或x=-4（舍去），
在Rt△OMN中，ON²+NM²=OM²，設(shè)HN=y，
∴（2+2+y）²+y²=（2）²，
解得：y=-2±（舍去負(fù)值），
∴HN=-2．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)，根據(jù)已知熟練利用勾股定理是解題關(guān)鍵．