Question

如圖，△ABC中，點D在AC上，點E在BC上，且DE∥AB，將△CDE繞點C按順時針方向旋轉得到△CD′E′（使∠BCE′＜180°），連接AD′、BE′，設直線BE′與AC、AD′分別交于點O、E．
（1）若△ABC為等邊三角形，則的值為1，求∠AFB的度數(shù)；
（2）若△ABC滿足∠ACB=60°，AC=，BC=，①求的值和∠AFB的度數(shù)；②若E為BC的中點，求△OBC面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）求的值，可以通過證明△CBE′≌△CAD′，得到AD′=BE′求出，求∠AFB的度數(shù)，通過△AOF與△BOC比較得出；
（2）求的值和∠AFB的度數(shù)，可以通過證明△CBE′∽△CAD′得到；要求△OBC面積的最大值，因為∠ACB=60°，BC=，即求CO的最大值，用面積公式結合三角函數(shù)可以得出．
解答：解：（1）連接D'E'，

∵△ABC為等邊三角形，DE∥AB，
∴△CED，△CD'E'為等邊三角形．
∴CD'=CE'，∠BCA+∠ACE′=∠D′CE′+∠ACE′即∠BCE′=∠D′CA，AC=CB
∴△CBE′≌△CAD′（SAS），
∴∠CAF=∠CBO，AD′=BE′，
∴的值為1，
∵∠CAF=∠CBO，
∴∠ABO+∠BAF=120°，
∴∠AFB=60°．

（2）∵AC=，BC=，DE∥AB，
∴CA：CB=：，CD：CE=：=CD′：CE′，
∴CA：CB=CD′：CE′=：，
∵∠BCE′=∠D′CA，
∴△CBE′∽△CAD′，
∴=，∠CBF=∠CAD′，
∵∠BOC=∠AOF，
∴∠AFB=∠ACB=60°：當CO=，△OBC面積的最大值=0.5BC•sin∠ACB•CO=．
點評：本題考查了圖形的旋轉變化，旋轉變化前后，對應線段、對應角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變．同時綜合考查了等邊三角形的性質，全等三角形，相似三角形的性質．