【題目】在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2﹣2ax﹣3與x軸交于A、B兩點(點A在點B左側(cè)),與y軸交于點C,頂點為D,且過點(2,﹣3a).
(1)求拋物線的解析式;
(2)拋物線上是否存在一點P,過點P作PM⊥BD,垂足為點M,PM=2DM?若存在,求點P的坐標;若不存在,說明理由.
(3)在(2)的條件下,求△PMD的面積.
【答案】(1)(1,﹣4);(2)存在,(﹣,﹣);(3).
【解析】
(1)將點的坐標(2,﹣3a)代入拋物線表達式得:﹣3a=4a﹣4a﹣3,即可求解;
(2)利用△PGM∽△MHD,得=2,分別求出線段長度即可求解;
(3)利用S=PMDM,即可求解.
(1)將點的坐標(2,﹣3a)代入拋物線表達式得:﹣3a=4a﹣4a﹣3,解得:a=1,
故拋物線的表達式為:y=x2﹣2x﹣3,
令y=0,解得:x=3或﹣1,
即點A、B的坐標分別為(﹣1,0)、(3,0),
函數(shù)對稱軸為x=1,則點D的坐標為(1,﹣4);
(2)存在.理由:
將點B、D的坐標代入一次函數(shù)表達式:y=kx+b得:
,解得:,
即:直線BD的表達式為:y=2x﹣6,
過點M作GH∥y軸,分別過點P、點D作x軸的平行線交于點G、H,
∵∠PMG+∠DMH=90°,∠DMH+∠MDH=90°,
∴∠PMG=∠MDH,
∠PGM=∠MHD=90°,
∴△PGM∽△MHD,
∴=2,
設(shè)點M、P的橫坐標分別為m,n,則其坐標分別為(m,2m﹣6)、(n,n2﹣2n﹣3),
則:PG=m﹣n,MH=2m﹣6﹣(﹣4)=2m﹣2,
即:m﹣n=4m﹣4…①,
GM=n2﹣2n﹣3﹣2m+6=n2﹣2n﹣2m+3,DH=m﹣1,
即:n2﹣2n﹣2m+3=2m﹣2…②
①②聯(lián)立并解得:n=1或﹣(n=1不合題意,舍去),
則n=﹣,m=,點M坐標為(,﹣),
故點P的坐標為(﹣,﹣);
(3)由勾股定理得:
PM=,
DM=,
S=PMDM=.
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,AD、AB、BC分別與⊙O相切于點E、F、G,過點D作⊙O的切線交BC于點M,切點為N,則DM的長為( )
A. B. C. D. 2
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【題目】按要求化簡:(a﹣1)÷,并選擇你喜歡的整數(shù)a,b代入求值.
小聰計算這一題的過程如下:
解:原式=(a﹣1)÷…①
=(a﹣1)…②
=…③
當a=1,b=1時,原式=…④
以上過程有兩處關(guān)鍵性錯誤,第一次出錯在第_____步(填序號),原因:_____;
還有第_____步出錯(填序號),原因:_____.
請你寫出此題的正確解答過程.
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【題目】如圖1,在菱形ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,AB=13,BD=24,在菱形ABCD的外部以AB為邊作等邊三角形 ABE.點F是對角線BD上一動點(點F不與點B重合),將線段AF繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段AM,連接FM.
(1)求AO的長;
(2)如圖2,當點F在線段BO上,且點M,F(xiàn),C三點在同一條直線上時,求證:AC=AM;
(3)連接EM,若△AEM的面積為40,請直接寫出△AFM的周長.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,一次函數(shù)y1=ax+b(a≠0)的圖象與y軸相交于點A,與反比例函數(shù)y2=(k≠0)的圖象相交于點B(3,2)、C(﹣1,n).
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式;
(2)根據(jù)圖象,直接寫出y1>y2時x的取值范圍.
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【題目】如圖1,拋物線C1:y=ax2﹣2ax+c(a<0)與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C.已知點A的坐標為(﹣1,0),點O為坐標原點,OC=3OA,拋物線C1的頂點為G.
(1)求出拋物線C1的解析式,并寫出點G的坐標;
(2)如圖2,將拋物線C1向下平移k(k>0)個單位,得到拋物線C2,設(shè)C2與x軸的交點為A′、B′,頂點為G′,當△A′B′G′是等邊三角形時,求k的值:
(3)在(2)的條件下,如圖3,設(shè)點M為x軸正半軸上一動點,過點M作x軸的垂線分別交拋物線C1、C2于P、Q兩點,試探究在直線y=﹣1上是否存在點N,使得以P、Q、N為頂點的三角形與△AOQ全等,若存在,直接寫出點M,N的坐標:若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠B=45°,AB=10,BC=8,DE是△ABC的中位線.過點D、E作DF∥EG,分別交BC于F、G,沿DF將△BDF剪下,并順時針旋轉(zhuǎn)180°與△AMD重疊,沿EG將△CEG剪下,并逆時針旋轉(zhuǎn)180°與△ANE重疊,則四邊形MFGN周長的最小值是__.
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【題目】閱讀對話,解答問題:
(1)分別用a、b表示小冬從小麗、小兵袋子中抽出的卡片上標有的數(shù)字,請用樹狀圖法或列表法寫出(a,b)的所有取值;
(2)求在(a,b)中使關(guān)于x的一元二次方程x2﹣ax+2b=0有實數(shù)根的概率.
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【題目】為增強學生的身體素質(zhì),教育行政部門規(guī)定每位學生每天參加戶外活動的平均時間不少于1小時. 為了解學生參加戶外活動的情況,對部分學生參加戶外活動的時間進行抽樣調(diào)查,并將調(diào)查結(jié)果繪制作成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖,
請你根據(jù)圖中提供的信息解答下列問題:
(1)在這次調(diào)查中共調(diào)查了多少名學生?
(2)求戶外活動時間為1.5小時的人數(shù),并補充頻數(shù)分布直方圖;
(3)戶外活動時間的眾數(shù)和中位數(shù)分別是多少?
(4)若該市共有20000名學生,大約有多少學生戶外活動的平均時間符合要求?
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