Question

如圖，平面直角坐標系中，拋物線：y=x²-2x+3與y軸交于點A，P為拋物線上一點，且與點A不重合．連接AP，以AO、AP為鄰邊作平行四邊形OAPQ，PQ所在直線與x軸交于點B．設點P的橫坐標為m．
（1）求點Q落在x軸上時m的值．
（2）若點Q在x軸下方，則m為何值時，線段QB的長取最大值，并求出這個最大值．
【參考公式：二次函數興y=ax²+bx+c（a≠0）圖象的頂點坐標為】

Answer 1

解：（1）令x=0可得點A坐標為（0，3），當Q落在x軸上時，PQ=OA=3，
在y=x²-2x+3中，令y=3，可求得點P橫坐標m=4，
即點Q落在x軸上時m的值為4；

（2）∵QB=OA-PB=3-PB，
∴當PB取最小值時，QB最大，
二次函數y=x²-2x+3=（x²-4x+4-4）+3=（x-2）²+1，
當x=2時，有最小值y=1，
故m=2時，QB的最大值為2．
分析：（1）可以令x=0可得點A坐標為（0，3），當Q落在x軸上時，PQ=OA=3，即可得出y=3時m的值；
（2）根據當PB取最小值時，QB最大，當x=2時，二次函數y=x²-2x+3有最小值即可得出答案．
點評：此題主要考查了二次函數的最值問題以及點的坐標性質，二次函數的綜合應用是初中階段的重點題型，特別注意利用數形結合是這部分考查的重點也是難點，同學們應重點掌握．