Question

（2013•濠江區(qū)模擬）如圖所示，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過原點(diǎn)O，與x軸交于另一點(diǎn)N，直線y=kx+b₁與兩坐標(biāo)軸分別交于A、D兩點(diǎn)，與拋物線交于B（1，3）、C（2，2）兩點(diǎn)．
（1）求直線與拋物線的解析式；
（2）若拋物線在x軸上方的部分有一動(dòng)點(diǎn)P（x，y），求△PON的面積最大值；
（3）若動(dòng)點(diǎn)P保持（2）中的運(yùn)動(dòng)路線，問是否存在點(diǎn)P，使得△POA的面積等于△POD面積的

1

9

？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入直線表達(dá)式解方程組即可得解，把點(diǎn)B、C、O的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，解三元一次方程組求出a、b、c的值，即可得到拋物線的解析式；
（2）先根據(jù)拋物線的解析式求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積公式可知，點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)時(shí)△PON底邊ON上的高最大，面積最大，求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，代入面積公式即可得解；
（3）先求出點(diǎn)A、D的坐標(biāo)，再設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，-2x²+5x），根據(jù)三角形的面積公式列式得到關(guān)于x的一元二次方程，然后求出方程的解，再根據(jù)點(diǎn)P在x軸的上方進(jìn)行判斷．

解答：解：（1）根據(jù)題意得，

k+b1=3 2k+b1=2

，
解得

k=-1 b1=4

，
∴直線的解析式是y=-x+4，
根據(jù)圖象，拋物線經(jīng)過點(diǎn)B（1，3）、C（2，2）、（0，0），
∴

a+b+c=3 4a+2b+c=2 c=0

，
解得

a=-2 b=5 c=0

，
∴拋物線的解析式是y=-2x²+5x；

（2）當(dāng)y=0時(shí)，-2x²+5x=0，
解得x₁=0，x₂=

5

2

，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)是（

5

2

，0），
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)越大，則△PON的面積越大，
當(dāng)點(diǎn)P是拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，△PON的面積最大，
此時(shí)

4ac-b2

4a

=

-52

4×(-2)

=

-25

-8

=

25

8

，
S_△PON最大=

1

2

×

5

2

×

25

8

=

125

32

；

（3）當(dāng)x=0時(shí)，y=4，
當(dāng)y=0時(shí)，-x+4=0，解得x=4，
∴點(diǎn)A、D的坐標(biāo)是A（0，4），D（4，0），
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x，-2x²+5x），則

1

2

×4x=

1

9

×

1

2

×4×（-2x²+5x），
整理得，2x²+4x=0，
解得x₁=0，x₂=-2，
此時(shí)點(diǎn)P不在x軸的上方，不符合題意，
∴不存在點(diǎn)P，使得△POA的面積等于△POD面積的

1

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有待定系數(shù)法求直線與函數(shù)的解析式，拋物線的頂點(diǎn)公式和三角形的面積求法．在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．