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【題目】如圖,已知AB是圓O的直徑,弦CDAB,垂足為H,與AC平行的圓O的一條切線交CD的延長線于點M,交AB的延長線于點E,切點為F,連接AF交CD于點N.

(1)求證:CA=CN;

(2)連接DF,若cosDFA=,AN=,求圓O的直徑的長度.

【答案】(1)證明見解析;(2)

【解析】

試題分析:(1)連接OF,根據切線的性質結合四邊形內角和為360°,即可得出M+FOH=180°,由三角形外角結合平行線的性質即可得出M=C=2OAF,再通過互余利用角的計算即可得出CAN=90°﹣OAF=ANC,由此即可證出CA=CN;

(2)連接OC,由圓周角定理結合cosDFA=,AN=,即可求出CH、AH的長度,設圓的半徑為r,則OH=r﹣6,根據勾股定理即可得出關于r的一元一次方程,解之即可得出r,再乘以2即可求出圓O直徑的長度.

試題解析:(1)證明:連接OF,則OAF=OFA,如圖所示.

ME與O相切,OFME.CDAB,∴∠M+FOH=180°.

∵∠BOF=OAF+OFA=2OAF,FOH+BOF=180°,∴∠M=2OAF.

MEAC,∴∠M=C=2OAF.

CDAB,∴∠ANC+OAF=BAC+C=90°,∴∠ANC=90°﹣OAF,BAC=90°﹣C=90°﹣2OAF,∴∠CAN=OAF+BAC=90°﹣OAF=ANC,CA=CN.

(2)連接OC,如圖2所示.

cosDFA=,DFA=ACH,=.設CH=4a,則AC=5a,AH=3a,CA=CN,NH=a,AN= = = a=,a=2,AH=3a=6,CH=4a=8.

設圓的半徑為r,則OH=r﹣6,在RtOCH中,OC=r,CH=8,OH=r﹣6,OC2=CH2+OH2,r2=82+(r﹣6)2,解得:r=,圓O的直徑的長度為2r=

練習冊系列答案
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(1)求二次函數的解析式;

(2)直線l沿x軸向右平移,得直線l′,l′與線段OA相交于點B,與x軸下方的拋物線相交于點C,過點C作CEx軸于點E,把BCE沿直線l′折疊,當點E恰好落在拋物線上點E′時(圖2),求直線l′的解析式;

(3)在(2)的條件下,l′與y軸交于點N,把BON繞點O逆時針旋轉135°得到B′ON′,P為l′上的動點,當PB′N′為等腰三角形時,求符合條件的點P的坐標.

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同學們作了一步又一步的研究:

(1)、經過思考,小明展示了一種解題思路:如圖1,取AB的中點M,連接ME,則AM=EC,易證△AME≌△ECF,所以AE=EF,小明的觀點正確嗎?如果正確,寫出證明過程;如果不正確,請說明理由;
(2)、小穎提出一個新的想法:如圖2,如果把“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC上(除B,C外)的任意一點”,其它條件不變,那么結論“AE=EF”仍然成立,小穎的觀點正確嗎?如果正確,寫出證明過程;如果不正確,請說明理由;
(3)、小華提出:如圖3,點E是BC的延長線上(除C點外)的任意一點,其他條件不變,結論“AE=EF”仍然成立.小華的觀點正確嗎?如果正確,寫出證明過程;如果不正確,請說明理由.

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