Question

已知：反比例函數(shù)y=

2

x

和y=

8

x

在平面直角坐標(biāo)系xOy第一象限中的圖象如圖所示，點(diǎn)A在y=

8

x

的圖象上，AB∥y軸，與y=

2

x

的圖象交于點(diǎn)B，AC、BD與x軸平行，分別與y=

2

x

，y=

8

x

的圖象交于點(diǎn)C、D．
（1）若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，求梯形ACBD的對(duì)角線的交點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m，比較△OBC與△ABC的面積的大小，并說(shuō)明理由；
（3）若△ABC與以A、B、D為頂點(diǎn)的三角形相似，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)和雙曲線的解析式，可以分別求得點(diǎn)A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)．根據(jù)點(diǎn)C、D的坐標(biāo)可以運(yùn)用待定系數(shù)法求得直線CD的解析式，根據(jù)題意，得點(diǎn)F的橫坐標(biāo)是2，再進(jìn)一步把x=2代入直線CD的解析式即可求得點(diǎn)F的縱坐標(biāo)；
（2）根據(jù)（1）中的方法可以用m表示出A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求得直角三角形ABC的面積；由于三角形OBC的形狀不規(guī)則，可以對(duì)其面積進(jìn)行轉(zhuǎn)換．作BM⊥x軸于點(diǎn)M．作CN⊥x軸于點(diǎn)N．根據(jù)反比例函數(shù)的解析式可知：S_△OCN=S_△OBM=1．所以該三角形的面積即為梯形CNMB的面積，根據(jù)梯形的面積公式進(jìn)行計(jì)算，再進(jìn)一步比較其大小；
（3）根據(jù)兩個(gè)三角形相似，則夾直角的兩組對(duì)應(yīng)邊的比應(yīng)相等，即AB²=AC•BD，再結(jié)合（2）中的坐標(biāo)計(jì)算出線段的長(zhǎng)度，列方程得m⁴=16，又m＞0，則m=2．

解答：解：（1）如圖，由題可知，當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2時(shí)，點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)分別為A（2，4），B（2，1），C（

1

2

，4），D（8，1）．（1分）
解一：直線CD的解析式為y=-

2

5

x+

21

5

．（2分）
∵AB∥y軸，F(xiàn)為梯形ACBD的對(duì)角線的交點(diǎn)，
∴x=2時(shí)，y=-

2

5

×2+

21

5

=

17

5

．
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2，

17

5

)．（3分）
解二：AC=

3

2

，BD=6，AB=3．
∵梯形ACBD，AC∥BD，F(xiàn)為梯形ACBD的對(duì)角線的交點(diǎn)，
∴△ACF∽△BDF．
∴

AF

BF

=

AC

BD

=

1

4

．
∴

AF

AB

=

1

5

，AF=

3

5

，點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為

17

5

．（2分）
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2，

17

5

)；（3分）

（2）如圖，作BM⊥x軸于點(diǎn)M．作CN⊥x軸于點(diǎn)N．當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m時(shí)，點(diǎn)A、
B、C、D的坐標(biāo)分別為A(m，

8

m

)，B(m，

2

m

)，C(

m

4

，

8

m

)，D(4m，

2

m

)．
S△ABC=

1

2

×AC×AB=

1

2

×

3m

4

×

6

m

=

9

4

．（4分）
S_△OBC=S_梯形CNMB+S_△OCN-S_△OBM=S_梯形CNMB=

1

2

(

8

m

+

2

m

)×

3m

4

=

15

4

（5分）
∴S_△OBC＞S_△ABC；（6分）


（3）點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，4）．（7分）

點(diǎn)評(píng)：注意幾個(gè)結(jié)論：（1）雙曲線y=

k

x

上任意一點(diǎn)向x軸或y軸引垂線，這點(diǎn)、垂足和原點(diǎn)組成的三角形的面積是

|k|

2

；（2）平行于x軸的線段的長(zhǎng)等于兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值；平行于y軸的線段的長(zhǎng)等于兩個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差的絕對(duì)值．