Question

【題目】如圖，將邊長(zhǎng)為6的正方形紙片ABCD沿EF折疊(點(diǎn)E，F分別在邊AB，CD上)，使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)M處（點(diǎn)M不與A，D重），點(diǎn)C落在點(diǎn)N處，MN與CD交于點(diǎn)P， 連接MB，當(dāng)點(diǎn)M在邊AD上移動(dòng)時(shí).有下列結(jié)論：①BM=EF；②0＜PF＜3 ；③∠AMB=∠BMP；④△PDM的周長(zhǎng)隨之改變．其中正確結(jié)論的序號(hào)是_______．（把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號(hào)都填上）

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

作FG⊥AB于G，證明△ABM≌△GFE（AAS），得出BM=EF，①正確；
若點(diǎn)M與A重合，則C與D重合，P與D重合，PF=3；當(dāng)M與D重合時(shí)，N與C重合，P與C重合，EF與AC重合，CF=0；得出0＜PF＜3，②正確；
由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ABM=∠EMB，由∠ABC=∠EMN=90°，得出∠AMB=∠BMP，③正確；
可證△AEM∽△DMP，兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)的比是AE：MD，設(shè)AM=x，根據(jù)勾股定理可以用x表示出MD的長(zhǎng)與△MAE的周長(zhǎng)，根據(jù)周長(zhǎng)的比等于相似比，求出△PDM的周長(zhǎng)=12為定值，得出④不正確，即可得出結(jié)論．

解：作FG⊥AB于G，如圖所示：
則∠EGF=90°，GF=BC=AB，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠A=90°，
∴∠ABM+∠AMB=90°，
由折疊的性質(zhì)得：BM⊥EF，BE=ME，∠EMN=∠ABC=90°，
∴∠ABM+∠GEF=∠ABM+∠AMB=90°，
∴∠AMB=∠GEF，
在△ABM和△GFE中，

，
∴△ABM≌△GFE（AAS），
∴BM=EF，①正確；
若點(diǎn)M與A重合，則C與D重合，P與D重合，PF=3；
當(dāng)M與D重合時(shí)，N與C重合，P與C重合，EF與AC重合，CF=0；
∵點(diǎn)M不與A，D重合，
∴0＜PF＜3，②正確；
∵BE=ME，
∴∠ABM=∠EMB，
∵∠ABC=∠EMN=90°，
∴∠AMB=∠BMP，③正確；
設(shè)AM=x，則MD=6-x．
由折疊性質(zhì)可知，EM=BE=6-AE，
在Rt△AEM中，AE2+AM2=EM2，即AE2+x2=（6-AE）2，
整理得：AE2+x2=36-12AE+AE2，
∴AE= （36-x2），
又∵∠EMP=90°，
∴∠AME+∠DMP=90°．
∵∠AME+∠AEM=90°，
∴∠AEM=∠DMP．
又∵∠A=∠D，
∴△PDM∽△MAE．
∴，
∴△PDM的周長(zhǎng)=△MAE的周長(zhǎng) =12．
∴△PDM的周長(zhǎng)保持不變，④不正確；
故答案為：①②③．