Question

鋼材是一種不會(huì)燃燒的建筑材料，它具有抗震，抗彎等特性．在實(shí)際應(yīng)用中，鋼材可以相對(duì)增加建筑物的荷載能力，滿足建筑設(shè)計(jì)美感造型的需要，避免混凝土等建筑材料不能彎曲，拉伸的缺陷，因此鋼材受到了建筑行業(yè)的青睞．重慶某鋼材有限公司在去年3月至6月份銷售甲、乙兩種型號(hào)的鋼材，已知甲種鋼材每個(gè)月的售價(jià)y₁（百元/噸）與月份x之間的關(guān)系可用下表表示：

時(shí)間x（月）	3	4	5	6
售價(jià)y1（百元/噸）	72	54	43.2	36

甲種鋼材的進(jìn)價(jià)為30百元/噸，甲種鋼材的銷量P與月份x的關(guān)系式為P=300x；乙種鋼材每個(gè)月的售價(jià)y₂（百元/噸）與月份x之間的關(guān)系滿足二次函數(shù)y₂=ax²+x+c，已知乙種鋼材的售價(jià)從3月的56百元/噸降至4月的53.5百元/噸，乙種鋼材的進(jìn)價(jià)為35百元/噸，乙種鋼材3至6月平均每月的銷量為1600噸．
（1）請(qǐng)觀察題中的表格，用我們所學(xué)過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)或者二次函數(shù)寫出y₁與x之間的函數(shù)關(guān)系式；并求出y₂與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）已知該公司每個(gè)月在銷售鋼材時(shí)每噸需支出2百元的物流費(fèi)用，問該公司銷售甲、乙兩種鋼材哪個(gè)月獲得的總利潤最大，最大利潤是多少百元？
（3）在去年7月至今年3月這9個(gè)月中，若每個(gè)月需固定支出甲、乙兩種鋼材的倉儲(chǔ)成本各600百元，甲、乙兩種鋼材的進(jìn)價(jià)每噸均比去年6月上漲1百元，每噸支出的物流費(fèi)用變?yōu)?.5百元．該公司將甲、乙兩種鋼材的售價(jià)均在去年6月的基礎(chǔ)上提高了p%，與此同時(shí)甲種鋼材每月的銷售量均在去年6月的基礎(chǔ)上減少了0.5p%，乙種鋼材每月的銷售量均為1500噸，這樣一來，該公司完成了去年7月至今年3月總利潤459000百元的銷售任務(wù)，請(qǐng)你參考以下數(shù)據(jù)，估算出p的值（精確到0.1）．（ 92.1²=8482.41，92.2²=8500.84，92.3²=8519.29，92.4²=8537.79）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)時(shí)間與售價(jià)的乘積相同，都是216可知y₁與x成反比例關(guān)系，根據(jù)3月份，4月份的售價(jià)，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式求解y₂與x的關(guān)系式即可；
（2）設(shè)總利潤為W百元，甲的利潤為每月的售價(jià)減去進(jìn)價(jià)與物流費(fèi)，然后乘以銷售量P，乙的利潤為每月的售價(jià)減去進(jìn)價(jià)與物流費(fèi)然后乘以銷售量16000噸，然后把甲、乙的利潤相加，整理后根據(jù)二次函數(shù)解析式求出自變量3≤x≤6時(shí)的最大值即可；
（3）先求出甲、乙去年6月份的售價(jià)，再表示出今年3到9月份甲、乙兩種鋼材平均每月的利潤之和，整理后解一元二次方程即可．

解答：解：（1）∵3×72=216，4×54=216，5×43.2=216，6×36=216，
∴y₁與x成反比例函數(shù)關(guān)系，關(guān)系式為y₁=

216

x

（3≤x≤6，x為整數(shù)）；
把x=3時(shí)，y=56，x=4時(shí)，y=53.5代入y₂=ax²+x+c得，

9a+3+c=56 16a+4+c=53.5

，
解得

a=- 1 2 c= 115 2

，
所以，y₂與x的函數(shù)關(guān)系式為y₂=-

1

2

x²+x+

115

2

（3≤x≤6）；

（2）設(shè)總利潤為W百元，則W=（y₁-30-2）P+（y₂-35-2）×1600，
=（

216

x

-32）×300x+（-

1

2

x²+x+

115

2

-37）×1600，
=-800x²-8000x+97600，
對(duì)稱軸為直線x=-

-8000

2×(-800)

=-5，
∵a=-800＜0，
∴x＞-5時(shí)，y隨x的增大而減小，
∴x=3時(shí)，W_最大=-800×3²-8000×3+97600=-7200-24000+97600=-31200+97600=66400，
即，該公司銷售甲、乙兩種鋼材3月獲得的總利潤最大，最大利潤是66400百元；

（3）去年6月時(shí)，x=6，y₁=36，P=300×6=1800，y₂=-

1

2

×6²+6+

115

2

=45.5，
所以，[36（1+p%）-30-1-2.5]×1800×（1-0.5p%）+[45.5（1+p%）-35-1-2.5]×1500-600×2=459000÷7，
整理得，27（p%）²-109•p%+31=0，
△=109²-4×27×31=8533，
p%=

109± 8533

2×27

，
∴p%=

109+92.4

2×27

=3.729（舍去），p%=

109-92.4

2×27

=0.307，
所以，p的值約為30.7．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，反比例函數(shù)關(guān)系，利用二次函數(shù)的增減性解決最值問題，一元二次方程的解法，題目數(shù)量關(guān)系較為復(fù)雜，運(yùn)算量較大，仔細(xì)閱讀，理清利潤的表達(dá)式的列出與變化關(guān)系，列出相應(yīng)的計(jì)算式是解題的關(guān)鍵．