Question

（1）如果

2x+1

x-1

=2+

m

x-1

，求常數(shù)m的值；
（2）在平面直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)，請(qǐng)你求出函數(shù)y=

2x+1

x-1

的圖象上所有整點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）我們知道一次函數(shù)y=x+2的圖象可以由函數(shù)y=x的圖象向左平移2個(gè)單位得到，那么函數(shù)y=

2x+1

x-1

的圖象可以由函數(shù)y=

m

x

經(jīng)過(guò)怎樣的平移得到？

Answer 1

分析：（1）方程兩邊同乘x-1，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，整理即可求出常數(shù)m的值；
（2）把所給函數(shù)解析式化為整式，進(jìn)而整理為兩數(shù)積的形式，根據(jù)整點(diǎn)的定義判斷積的可能的形式，找到整點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可；
（3）首先把函數(shù)解析式變?yōu)閥=

3

x-1

+2的形式，再根據(jù)雙曲線平移k值不變，利用“左減右加，上加下減”的規(guī)律即可求解．

解答：解：（1）去分母，得2x+1=2（x-1）+m，
化簡(jiǎn)得：m=3；

（2）將函數(shù)表達(dá)式變形，得xy-y=2x+1，
xy-2x-y+2=3，
x（y-2）-（y-2）=3，
（x-1）（y-2）=3．
∵x，y都是整數(shù)，
∴（x-1），（y-2）也是整數(shù)．
∴

x-1=1 y-2=3

或

x-1=-1 y-2=-3

或

x-1=3 y-2=1

或

x-1=-3 y-2=-1

，
解得

x=2 y=5

或

x=0 y=-1

或

x=4 y=3

或

x=-2 y=1

．
∴解得的整點(diǎn)為：（-2，1），（0，-1），（2，5），（4，3）；

（3）∵y=

2x+1

x-1

=

2(x-1)+3

x-1

=

3

x-1

+2，
∴由函數(shù)y=

3

x

的圖象先向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，即可得到函數(shù)y=

2x+1

x-1

的圖象．

點(diǎn)評(píng)：本題考查分式方程的解法，函數(shù)圖象上整點(diǎn)的求法，圖形的平移變換和函數(shù)解析式之間的關(guān)系．在平面直角坐標(biāo)系中，圖形的平移與圖形上某點(diǎn)的平移相同．平移中點(diǎn)的變化規(guī)律是：橫坐標(biāo)右移加，左移減；縱坐標(biāo)上移加，下移減．平移后解析式有這樣一個(gè)規(guī)律“左加右減，上加下減”．關(guān)鍵是要搞清楚平移前后的解析式有什么關(guān)系．