【答案】
分析:(1)連接AC,根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”,可得,當(dāng)M點(diǎn)落在BD的中點(diǎn)時(shí),AM+CM的值最;
(2)由題意得MB=NB,∠ABN=30°,所以∠EBN=30°,容易證出△AMB≌△ENB;
(3)連接AC,可以得到S
△ABE=S
△ADC,S
△AMB≠S
△AMC,從而可以得出結(jié)論.
(4)假設(shè)AN⊥BE,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及垂直平分線的性質(zhì)得出EN=BN,從而得出結(jié)論.
(5)根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”,當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí),AM+BM+CM的值最小,即等于EC的長(zhǎng),(如圖)作輔助線,過E點(diǎn)作EF⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于F,由題意求出∠EBF=60°,設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為x,在Rt△EFC中,根據(jù)勾股定理求得菱形的邊長(zhǎng).
解答:解:①連接AC,交BD于點(diǎn)O,
∵四邊形ABCD是菱形,
∴AB=BC,BD⊥AC,AO=BO
∴點(diǎn)A,點(diǎn)C關(guān)于直線BD對(duì)稱,
∴M點(diǎn)與O點(diǎn)重合時(shí)AM+CM的值最小為AC的值
∵∠ABC=60,
∴△ABC是等邊三角形,
∴AB=AC,
∵AB=1,
∴AC=1,
即AM+CM的值最小為1,故本答案正確.
②∵△ABE是等邊三角形,
∴BA=BE,∠ABE=60°.
∵∠MBN=60°,
∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN.
即∠MBA=∠NBE.
又∵M(jìn)B=NB,
∴△AMB≌△ENB(SAS),故本答案正確.
③∵S
△ABE+S
△ABM=S
四邊形AMBES
△ACD+S
△AMC=S
四邊形ADCM,且S
△AMB≠S
△AMC,
∴S
△ABE+S
△ABM≠S
△ACD+S
△AMC,
∴S
四邊形AMBE≠S
四邊形ADCM,故本答案錯(cuò)誤.
④假設(shè)AN⊥BE,且AE=AB,
∴AN是BE的垂直平分線,
∴EN=BN=BM=MN,
∴M點(diǎn)與O點(diǎn)重合,
∵條件沒有確定M點(diǎn)與O點(diǎn)重合,故本答案錯(cuò)誤.
⑤如圖,連接MN,由(1)知,△AMB≌△ENB,
∴AM=EN,
∵∠MBN=60°,MB=NB,
∴△BMN是等邊三角形.
∴BM=MN.
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM.(10分)
根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”,得EN+MN+CM=EC最短
∴當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí),AM+BM+CM的值最小,即等于EC的長(zhǎng).
過E點(diǎn)作EF⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于F,
∴∠EBF=180°-120°=60°,設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為x,
∴BF=
x,EF=
x,在Rt△EFC中,
∵EF
2+FC
2=EC
2,
∴
+
=
,解得x=2,故本答案正確.
綜上所述,正確的答案是:①②⑤,
故選C.
點(diǎn)評(píng):本題考查了菱形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),軸對(duì)稱最短路線問題和旋轉(zhuǎn)的問題.