Question

如圖，△ABC是等腰直角三角形，AB=2，以AB為直徑作⊙O，P為線段AB延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)．連接PC，將△CBP繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的到△CAD．
（1）如圖1所示，證明：AD為⊙O的切線．
（2）當(dāng)BP=OB時(shí)，如圖2所示，證明：AB平分線段CD．
（3）當(dāng)BP=t•OB時(shí)（t?1）時(shí)，討論以BP為半徑的⊙B和⊙O位置關(guān)系，并求出相應(yīng)t的取值范圍．
（4）當(dāng)BP=2OB時(shí)，請(qǐng)連接PD，試判斷直線PD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．   

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得CB=CA，∠CBA=∠CAB=45°，則由三角形外角性質(zhì)得∠P+∠PCB=45°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠PCB=∠DCA，∠P=∠D，則∠D+∠DCA=45°，于是根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得到∠OAD=90°，然后根據(jù)切線的判定定理即可AD為⊙O的切線；
（2）連結(jié)OC，CD與AB交于Q，由AB為⊙O的直徑和等腰直角三角形的性質(zhì)得OC⊥AB，OC=OB，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得PB=AD，而BP=OB，于是OC=AD，則可根據(jù)“AAS”可判斷△COQ≌△DAQ，所以CQ=DQ；
（3）根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系得到當(dāng)⊙B與⊙O相交時(shí)，OB＜BP＜2OB；當(dāng)⊙B與⊙O內(nèi)切時(shí)，BP=2OB；當(dāng)⊙B與⊙O內(nèi)含時(shí)，OB＜BP＜2OB，然后把PB=t•OB代入可分別得到t的取值范圍或值；
（4）作OH⊥PD于H，設(shè)⊙O的半徑為R，易得BP=2OB=2R，AD=2R，PA=4R，利用勾股定理可計(jì)算出PD=2

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R，再證明Rt△POH∽R(shí)t△PDA，利用相似比可得到OH=

3 5

5

R，所以O(shè)H＞R，然后根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系的判定方法得到直線PD與⊙O相離．

解答：（1）證明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴CB=CA，∠CBA=∠CAB=45°，
∴∠P+∠PCB=∠CBA=45°，
∵△CBP繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CAD，
∴∠PCB=∠DCA，∠P=∠D，
∴∠D+∠DCA=45°，
∴∠D+∠DCA+∠CAB=90°，
∴∠OAD=90°，
∴OA⊥AD，
∴AD為⊙O的切線；
（2）證明：連結(jié)OC，CD與AB交于Q，如圖2，
∵△ABC是等腰直角三角形，AB為⊙O的直徑，
∴OC⊥AB，OC=OB，
而AD⊥AD，
∴∠COQ=∠DAQ=90°，
∵△CBP繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CAD，
∴PB=AD，
而BP=OB，
∴OC=AD，
在△COQ和△DAQ中，

∠COQ=∠DAQ ∠CQO=∠DQA CO=DA

，
∴△COQ≌△DAQ（AAS），
∴CQ=DQ，
即AB平分線段CD；

（3）當(dāng)⊙B與⊙O相交時(shí)，OB＜BP＜2OB，即OB＜t•OB＜2OB，所以1＜t＜2；
當(dāng)⊙B與⊙O內(nèi)切時(shí)，BP=2OB，即t•OB=2OB，即t=2；
當(dāng)⊙B與⊙O內(nèi)含時(shí)，OB＜BP＜2OB，即OB＜t•OB＜2OB，所以t＞2；

（4）直線PD與⊙O相離．理由如下：
作OH⊥PD于H，設(shè)⊙O的半徑為R，如圖3，
∵BP=2OB=2R，
∴AD=PB=2R，PA=4R，
∴PD=

PA2+AD2

=2

5

R，
∵∠OPH=∠DPA，
∴Rt△POH∽R(shí)t△PDA，
∴OH：AD=PO：PD，即OH：2R=3R：2

5

R，
∴OH=

3 5

5

R＞R，
∴直線PD與⊙O相離．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握直線與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系以及判定方法；學(xué)會(huì)運(yùn)用勾股定理和相似比進(jìn)行幾何計(jì)算；同時(shí)理解等腰直角三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．