Question

【題目】已知：如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，四邊形OABC是矩形，OA=4，OC=3，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線CB方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸正半軸方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P、點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．

（1）當(dāng)t=1s時(shí)，求經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，P，A三點(diǎn)的拋物線的解析式；

（2）當(dāng)t=2s時(shí)，求tan∠QPA的值；

（3）當(dāng)線段PQ與線段AB相交于點(diǎn)M，且BM=2AM時(shí)，求t（s）的值；

（4）連接CQ，當(dāng)點(diǎn)P，Q在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，記△CQP與矩形OABC重疊部分的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）t=3s；（4）．

【解析】

（1）可求得P點(diǎn)坐標(biāo)，由O、P、A的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；

（2）當(dāng)t=2s時(shí)，可知P與點(diǎn)B重合，在Rt△ABQ中可求得tan∠QPA的值；

（3）用t可表示出BP和AQ的長(zhǎng)，由△PBM∽△QAM可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值；

（4）當(dāng)點(diǎn)Q在線段OA上時(shí)，S=S△CPQ；當(dāng)點(diǎn)Q在線段OA上，且點(diǎn)P在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，由相似三角形的性質(zhì)可用t表示出AM的長(zhǎng)，由S=S四邊形BCQM=S矩形OABC﹣S△COQ﹣S△AMQ，可求得S與t的關(guān)系式；當(dāng)點(diǎn)Q在OA的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)CQ交AB于點(diǎn)M，利用△AQM∽△BCM可用t表示出AM，從而可表示出BM，S=S△CBM，可求得答案．

（1）當(dāng)t=1s時(shí)，則CP=2，∵OC=3，四邊形OABC是矩形，∴P（2，3），且A（4，0），

∵拋物線過(guò)原點(diǎn)O，∴可設(shè)拋物線解析式為，

∴，解得：，

∴過(guò)O、P、A三點(diǎn)的拋物線的解析式為；

（2）當(dāng)t=2s時(shí)，則CP=2×2=4=BC，即點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，OQ=2，如圖1，

∴AQ=OA﹣OQ=4﹣2=2，且AP=OC=3，

∴tan∠QPA==；

（3）當(dāng)線段PQ與線段AB相交于點(diǎn)M，則可知點(diǎn)Q在線段OA上，點(diǎn)P在線段CB的延長(zhǎng)線上，如圖2，

則CP=2t，OQ=t，∴BP=PC﹣CB=2t﹣4，AQ=OA﹣OQ=4﹣t，

∵PC∥OA，∴△PBM∽△QAM，

∴，且BM=2AM，

∴ =2，解得t=3，

∴當(dāng)線段PQ與線段AB相交于點(diǎn)M，且BM=2AM時(shí)，t為3s；

（4）當(dāng)0≤t≤2時(shí)，如圖3，由題意可知CP=2t，∴S=S△PCQ=×2t×3=3t；

當(dāng)2＜t≤4時(shí)，設(shè)PQ交AB于點(diǎn)M，

如圖4，由題意可知PC=2t，OQ=t，則BP=2t﹣4，AQ=4﹣t，

同（3）可得=，

∴BM=AM，∴3﹣AM=AM，解得AM=，

∴S=S四邊形BCQM=S矩形OABC﹣S△COQ﹣S△AMQ=3×4﹣×t×3﹣×（4﹣t）×=24﹣﹣3t；

當(dāng)t＞4時(shí)，設(shè)CQ與AB交于點(diǎn)M，如圖5，由題意可知OQ=t，AQ=t﹣4，

∵AB∥OC，∴，即，解得AM=，

∴BM=3﹣=，∴S=S△BCM=×4×=；

綜上可知：．