Question

如圖1，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO=，∠ABO=30°．動點P在線段AB上從點A向終點B以每秒個單位的速度運動，設運動時間為t秒．在直線OB 上取兩點M、N作等邊△PMN．
（1）求當?shù)冗叀鱌MN的頂點M運動到與點O重合時t的值．
（2）求等邊△PMN的邊長（用t的代數(shù)式表示）；
（3）如果取OB的中點D，以OD為邊在Rt△AOB 內部作如圖2所示的矩形ODCE，點C在線段AB上．設等邊△PMN和矩形ODCE重疊部分的面積為S，請求出當0≤t≤2秒時S與t的函數(shù)關系式，并求出S的最大值．
（4）在（3）中，設PN與EC的交點為R，是否存在點R，使△ODR是等腰三角形？若存在，求出對應的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）當?shù)冗叀鱌MN的頂點M運動到與點O重合時，
MP⊥AB，∵∠A=60°，∴AP=4，∴。（2分）

（2）∵AP=，∴BP=
又∵∠B=30°，∠PMB=600°，∴∠BPM=90°
tan∠B=
∴，即等邊△PMN的邊長為.（4分）
（3）①當時，如圖AP=，∴

∴，∴，
∴.
過F作FQ⊥0B于Q，則QN=4，∴EF=OQ=.
等邊△PMN和矩形ODCE重疊部分的面積為四邊形EFNO的面積，設為S_1，
∴
∵＞0，∴S₁隨t的增大而增大，
∴t=1時，，∴S₁的最大值為.（7分）
②當＜t＜2時，如圖

在△EGK中，GE=，∴EK=，
∴S_△GEK=.
∴等邊△PMN和矩形ODCE重疊部分的面積為四邊形EFNO的面積與△EGK的面積差，設為S₂，
∴.
∵，對稱軸為，
∴時，的最大值為.（9分）
當時，。
綜上可知：當時，S的最大值為.（10分）
（4）過R作RH⊥OB于H，RH=，HN=4，

OH=，OD=12，DH=，
①OR=OD=12時，，
∴，，∴＞2，不合題意舍去。
②DR=OD=12時，，
∴，∴＞2，或＜0，都不合題意舍去。
③OR=DR時，H為CD中點，OH=6，∴，∴。
綜上所述，時，△ODR是等腰三角形。（12分）

（1）利用直角三角形中30°所對的邊是斜邊的一半即可求出AP，進而求出t的值；
（2）利用△BPH∽△BAO，得出PH的長，再利用解直角三角形求出PN的長；
（3）根據(jù)當0≤t≤1時以及當t=1時和當t=2時，分別求出S的值；
（4）根據(jù)當D為頂點，OD=OR₁=6時，當R₂為頂點，OR₂=DR₂時，③當O為等腰△的頂點時，分別得出即可