Question

一元二次方程8x²-（m-1）x+m-7=0，
（1）m為何實數(shù)時，方程的兩個根互為相反數(shù)？
（2）m為何實數(shù)時，方程的一個根為零？
（3）是否存在實數(shù)m，使方程的兩個根互為倒數(shù)？

Answer 1

【答案】分析：（1）當方程的兩個根互為相反數(shù)時，x₁+x₂==0，通過解此方程可以求得m的值；
（2）當方程的一根是零時，由根與系數(shù)的關(guān)系知x₁•x₂=0，據(jù)此列出關(guān)于m的方程，通過解方程即可求得m的值；
（3）當方程的兩個根互為倒數(shù)時，由根與系數(shù)的關(guān)系知x₁•x₂=1，據(jù)此列出關(guān)于m的方程，通過解方程即可求得m的值；然后通過根的判別式進行判斷是否存在這樣的實數(shù)m．
解答：解：（1）∵一元二次方程8x²-（m-1）x+m-7=0的兩個根互為相反數(shù)，
∴x₁+x₂==0，
解得m=1；

（2）∵一元二次方程8x²-（m-1）x+m-7=0的一個根為零，
∴x₁•x₂==0，
解得m=7；

（3）設(shè)存在實數(shù)m，使方程8x²-（m-1）x+m-7=0的兩個根互為倒數(shù)，則
x₁•x₂==1，
解得m=15；
則原方程為4x²-7x+4=0，
△=49-4×4×4=-15＜0，所以原方程無解，這與存在實數(shù)m，使方程8x²-（m-1）x+m-7=0有兩個根相矛盾．故不存在這樣的實數(shù)m．
點評：本題綜合考查了根與系數(shù)的關(guān)系、倒數(shù)與相反數(shù)的定義以及根的判別式．一元二次方程8x²-（m-1）x+m-7=0的m的取值受根的判別式的符號的限制．