Question

【題目】反比例函數(shù)y= 在第一象限的圖象如圖所示，過(guò)點(diǎn)A（1，0）作x軸的垂線，交反比例函數(shù)y= 的圖象于點(diǎn)M，△AOM的面積為3．

（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（t，0），其中t＞1．若以AB為一邊的正方形有一個(gè)頂點(diǎn)在反比例函數(shù)y= 的圖象上，求t的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵△AOM的面積為3，

∴ |k|=3，

而k＞0，

∴k=6，

∴反比例函數(shù)解析式為y= ；

（2）

解：當(dāng)以AB為一邊的正方形ABCD的頂點(diǎn)D在反比例函數(shù)y= 的圖象上，則D點(diǎn)與M點(diǎn)重合，即AB=AM，

把x=1代入y= 得y=6，

∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（1，6），

∴AB=AM=6，

∴t=1+6=7；

當(dāng)以AB為一邊的正方形ABCD的頂點(diǎn)C在反比例函數(shù)y= 的圖象上，

則AB=BC=t﹣1，

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（t，t﹣1），

∴t（t﹣1）=6，

整理為t2﹣t﹣6=0，解得t1=3，t2=﹣2（舍去），

∴t=3，

∴以AB為一邊的正方形有一個(gè)頂點(diǎn)在反比例函數(shù)y= 的圖象上時(shí)，t的值為7或3．

【解析】（1）根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義得到 |k|=3，可得到滿足條件的k=6，于是得到反比例函數(shù)解析式為y= ；（2）分類討論：當(dāng)以AB為一邊的正方形ABCD的頂點(diǎn)D在反比例函數(shù)y= 的圖象上，則D點(diǎn)與M點(diǎn)重合，即AB=AM，再利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征確定M點(diǎn)坐標(biāo)為（1，6），則AB=AM=6，所以t=1+6=7；當(dāng)以AB為一邊的正方形ABCD的頂點(diǎn)C在反比例函數(shù)y= 的圖象上，根據(jù)正方形的性質(zhì)得AB=BC=t﹣1，則C點(diǎn)坐標(biāo)為（t，t﹣1），然后利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到t（t﹣1）=6，再解方程得到滿足條件的t的值．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解比例系數(shù)k的幾何意義的相關(guān)知識(shí)，掌握幾何意義：表示反比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)向兩坐標(biāo)軸所作的垂線段與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積，以及對(duì)正方形的性質(zhì)的理解，了解正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形．