Question

如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，點E在CB的延長線上，連接DE，交AB于點F，連接DB，∠AFD=∠DBE，且DE²=BE•CE．
（1）求證：∠DBE=∠CDE；
（2）當(dāng)BD平分∠ABC時，求證：四邊形ABCD是菱形．

Answer 1

證明：（1）∵DE²=BE•CE，
∴．
∵∠E=∠E，
∴△DBE∽△CDE．
∴∠DBE=∠CDE．

（2）∵∠DBE=∠CDE，
又∵∠DBE=∠AFD，
∴∠CDE=∠AFD．
∴AB∥DC．
又∵AD∥BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠1．
∵DB平分∠ABC，
∴∠1=∠2．
∴∠ADB=∠2．
∴AB=AD．
∴四邊形ABCD是菱形．
分析：（1）先把等積式：DE²=BE•CE化為比例式，利用兩邊及其夾角法：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似證明△DBE∽△CDE即可證明∠DBE=∠CDE；
（2）有（1）可知：∠DBE=∠CDE，利用角平分線的性質(zhì)和平行線的判定以及平行四邊形的判定方法證明四邊形ABCD為平行四邊形，再證明AB=AD即可證明：四邊形ABCD是菱形．
點評：本題綜合性的考查了相似三角形的判定、相似三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)以及平行四邊形的判定、性質(zhì)和菱形的判定方法，題目的綜合性不�。�