Question

（2012•北塘區(qū)二模）如圖，?AOBC的對(duì)角線交于點(diǎn)E，反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象經(jīng)過A、E兩點(diǎn)，若?AOBC的面積為9，則k=

3

．

Answer 1

分析：設(shè)出點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為x，根據(jù)點(diǎn)A在雙曲線y=

k

x

（k＞0）上，表示出點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，從而表示出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)B在x軸上設(shè)出點(diǎn)B的坐標(biāo)為（a，0），然后過A作AD⊥OB于D，EF⊥OB于F，如圖，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)對(duì)角線互相平分得到點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，又EF∥AD，得到EF為△ABD的中位線，可得EF為AD的一半，而AD為A的縱坐標(biāo)，可得出EF的長，由OB-OD可得BD的長，根據(jù)F為BD的中點(diǎn)，得到FB的長，由OB-FB可得出OF的長，由E在第一象限，由EF和OF的長表示出E的坐標(biāo)，代入反比例解析式中，得到a=3x，再由BO與AD的積為平行四邊形的面積，表示出平行四邊形的面積，根據(jù)平行四邊形AOBC的面積為9，列出等式，將a=3x代入可得出k的值．

解答：解：設(shè)A（x，

k

x

），B（a，0），過A作AD⊥OB于D，EF⊥OB于F，如圖，
∵四邊形AOBC是平行四邊形，
∴AE=EB，
∴EF為△ABD的中位線，
∴EF=

1

2

AD=

k

2x

，DF=

1

2

（a-x），OF=OD+DF=

a+x

2

，
∴E（

a+x

2

，

k

2x

），
∵E在雙曲線y=

k

x

上，
∴

a+x

2

•

k

2x

=k，
∴a=3x，
∵S_?AOBC=OB•AD=9，
∴a•

k

x

=3x•

k

x

=3k=9，
解得：k=3．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于反比例函數(shù)的綜合題，考查了平行線的性質(zhì)，三角形中位線定理，平行四邊形的性質(zhì)，平行四邊形及三角形的面積公式，以及點(diǎn)坐標(biāo)與線段的關(guān)系，是一道綜合性較強(qiáng)的題，本題的突破點(diǎn)是作出輔助線，建立點(diǎn)坐標(biāo)與線段長度的聯(lián)系．