【題目】如圖1是一塊內(nèi)置量角器的等腰直角三角板,它是一個(gè)軸對(duì)稱圖形.已知量角器所在的半圓O的直徑DE與AB之間的距離為1,DE=4,AB=8,點(diǎn)N為半圓O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連結(jié)AN交半圓或直徑DE于點(diǎn)M.
(1)當(dāng)AN經(jīng)過圓心O時(shí),求AN的長;
(2)如圖2,若N為量角器上表示刻度為90°的點(diǎn),求△MON的周長;
(3)當(dāng)時(shí),求△MON的面積.
【答案】(1)AN=+2;(2);(3)或1﹣.
【解析】
(1)如圖1中,連接FO延長FO交AB于H.則FH⊥AB,FH⊥DE.解直角三角形求出AO即可解決問題.
(2)如圖2中,連接OM,作OJ⊥MN.利用相似三角形的性質(zhì)求出NJ,再利用垂徑定理求出MN即可解決問題.
(3)分兩種情形:如圖3﹣1中,連接AO,延長AO交⊙O于K,作OJ⊥MN于J,連接OM,ON.設(shè)AM=MN=x,OJ=y,構(gòu)建方程組即可解決問題.如圖3﹣2中,連接ON,作NJ⊥AB于J交DE于K.想辦法求出OM,NK即可解決問題.
(1)如圖1中,連接FO延長FO交AB于H.則FH⊥AB,FH⊥DE.
∵DE=4,
∴⊙O的半徑為2,
∵FA=FB,FH⊥AB,
∴AH=HB=4,
在中,OH=1,AH=4,
∴,
∴;
(2)如圖2中,連接OM,作OJ⊥MN于J.
在中, AH=4,,
∴,
∵,公共,
∴△OJN∽△AHN,
∴,即,
∴JN=,
∵OJ⊥MN,OM=ON,
∴JM=JN,
∴MN=2JN=,
∴△MON的周長=2+2+=;
(3)如圖3﹣1中,連接AO并延長AO交⊙O于K,作OJ⊥MN于J,連接OM,ON.
∵,
∴AM=MN=,
設(shè)AM=MN=x,OJ=y,
∵OJ⊥MN,OM=ON,
∴JM=JN=,
在中,
,即①,
在中, AO=,,
∴,即②,
聯(lián)立①②并解得,,
∴,OJ=,
∴S△MON=.
如圖3﹣2中,連接ON,作NJ⊥AB于J交DE于K.
∵AM=MN,MK∥AJ,
∴MK是的中位線,
∴NK=JK=OH=1,MK= AJ,
∵NJ⊥AB,DE∥AB,
∴NK⊥OE,
∴sin∠NOK=,
∵,
∴∠NOK=,
∴OK=NK=,
∵NJ⊥AB,FH⊥AB,DE∥AB,
∴四邊形OKJH是矩形,
∴HJ=OK=,
∴AJ= AH+ HJ =4+,
∴MK=AJ=2+,
∴OM=MK﹣OK= 2+﹣=2﹣,
∴S△MON=(2﹣)×1=1﹣,
綜上所述,滿足條件的△MON的面積為或1﹣.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)如圖所示,下列結(jié)論中:
①4ac-b2<0;②3b+2c<0;③4a+c<2b;④m(am+b)+b<a(m≠-1).
其中正確的結(jié)論有( )
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
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【題目】如圖,AD是⊙O的直徑,AB為⊙O的弦,OP⊥AD,OP與AB的延長線交于點(diǎn)P,過B點(diǎn)的切線交OP于點(diǎn)C.
(1)求證:∠CBP=∠ADB.
(2)若OA=2,AB=1,求線段BP的長.
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【題目】如圖,一次函數(shù)的圖象分別交x軸、y軸于C,D兩點(diǎn),交反比例函數(shù)圖象于A(,4),B(3,m)兩點(diǎn).
(1)求直線CD的表達(dá)式;
(2)點(diǎn)E是線段OD上一點(diǎn),若,求E點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)請(qǐng)你根據(jù)圖象直接寫出不等式的解集.
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【題目】某商場開業(yè),為了活躍氣氛,用紅、黃、藍(lán)三色均分的轉(zhuǎn)盤設(shè)計(jì)了兩種抽獎(jiǎng)方案,凡來商場消費(fèi)的顧客都可以選擇一種抽獎(jiǎng)方案進(jìn)行抽獎(jiǎng).
方案一:轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一次,指針落在紅色區(qū)域可領(lǐng)取一份獎(jiǎng)品;
方案二:轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤兩次,指針落在不同顏色區(qū)域可領(lǐng)取一份獎(jiǎng)品,你會(huì)選擇哪個(gè)方案?請(qǐng)用相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)說明理由.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn),A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè),拋物線的對(duì)稱軸x=1,與y軸交于C(0,﹣3)點(diǎn),點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn).
(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式及A、B點(diǎn)的坐標(biāo).
(2)連接PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四邊形POP′C,那么是否存在點(diǎn)P,使四邊形POP′C為菱形;若存在,請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),四邊形ABPC的面積最大;求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積.
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=6,BC=13,BE=4,點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā),在折線段BA﹣AD上運(yùn)動(dòng),連接EF,當(dāng)EF⊥BC時(shí)停止運(yùn)動(dòng),過點(diǎn)E作EG⊥EF,交矩形的邊于點(diǎn)G,連接FG.設(shè)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路程為x,△EFG的面積為S.
(1)當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)A重合時(shí),點(diǎn)G恰好到達(dá)點(diǎn)D,此時(shí)x= ,當(dāng)EF⊥BC時(shí),x= ;
(2)求S關(guān)于x的函數(shù)解析式,并直接寫出自變量x的取值范圍;
(3)當(dāng)S=15時(shí),求此時(shí)x的值.
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【題目】一個(gè)不透明的口袋中裝有4張卡片,卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1、-2、-3、4,它們除了標(biāo)有的數(shù)字不同之外再也沒有其它區(qū)別,小芳從盒子中隨機(jī)抽取一張卡片.
(1)求小芳抽到負(fù)數(shù)的概率;
(2)若小明再從剩余的三張卡片中隨機(jī)抽取一張,請(qǐng)你用樹狀圖或列表法,求小明和小芳兩人均抽到負(fù)數(shù)的概率.
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【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,點(diǎn)C,D為上的點(diǎn),且=,延長AD,BC相交于點(diǎn)E,連接OD交AC于點(diǎn)F.
(1)求證:△ABC≌△AEC;
(2)若OA=3,BC=4,求AD的長.
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