Question

如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，E、F分別是CD、AB的中點(diǎn)，直線EF分別交BC、AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)S、T．求證：∠ATS＝∠BSF．

Answer 1

答案：
解析：

證明：過(guò)點(diǎn)E作EGAD，EHBC，連結(jié)GH、AG、BH，則四邊形DEGA、EHBC均為平行四邊形． 　　∴AGDE，BHEC， 　　又∵DE＝EC， 　　∴AGBH． 　　∴四邊形AGBH是平行四邊形． 　　又∵F是AB中點(diǎn)， 　　∴H、F、G三點(diǎn)共線且F是GH中點(diǎn)． 　　∴EF是△EGH的中線． 　　又∵EG＝AD＝BC＝EH， 　　∴EF平分∠GEH． 　　又∵∠GEF＝∠ATS，∠HEF＝∠BSF， 　　∴∠ATS＝∠BSF．

提示：

點(diǎn)悟：由于∠ATS和∠BSF不在同一個(gè)三角形內(nèi)，又不可能在兩個(gè)全等的三角形內(nèi)，又沒(méi)有直接的聯(lián)系，故需通過(guò)添加輔助線使兩個(gè)角有一定的關(guān)系，由于所給的條件和中點(diǎn)均在四邊形ABCD內(nèi)，因此可設(shè)想把∠ATS和∠BSF都移到四邊形ABCD內(nèi)． 　　點(diǎn)撥：在幾何命題論證中，要注意通過(guò)添加適當(dāng)?shù)妮o助線，將分散的、遠(yuǎn)離的元素，通過(guò)變化和轉(zhuǎn)換，使它們相對(duì)集中，從而導(dǎo)出要求的結(jié)論．