Question

已知：如圖，AD是Rt△ABC的角平分線，AD的垂直平分線EF交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求證：FD²=FB•FC．

Answer 1

分析：首先連接AF，可證得△AFC∽△BFA，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例證得FA²=FB•FC，則可得FD²=FB•FC．

解答：證明：連接AF，
∵EF是AD的垂直平分線，
∴AF=DF，
∴∠FAE=∠FDE，
∵∠FAE=∠FAB+∠BAD，∠FDE=∠C+∠CAD，且∠BAD=∠CAD，
∴∠FAB=∠C，
∵∠AFB是公共角，
∴△AFB∽△CFA，
∴

AF

FC

=

FB

AF

，
∴FA²=FB•FC，
即FD²=FB•FC．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)以及角平分線的定義．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．