Question

【題目】已知，如圖，延長的各邊，使得，，順次連接，得到為等邊三角形．

求證：（1）；（2）為等邊三角形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析

【解析】（1）關(guān)鍵是證出CE=AF，可由AE=AB，AC=BF，兩兩相加可得．再結(jié)合已知條件可證出△AEF≌△CDE．

（2）有（1）中的全等關(guān)系，可得出∠AFE=∠CED，再結(jié)合△DEF是等邊三角形，可知∠DEF=60°，從而得出∠BAC=60°，同理可得∠ACB=60°，那么∠ABC=60°．因而△ABC是等邊三角形．

證明：(1)∵BF=AC,AB=AE(已知)

∴FA=EC(等量加等量和相等).

∵△DEF是等邊三角形(已知)，

∴EF=DE(等邊三角形的性質(zhì)).

又∵AE=CD(已知)，

∴△AEF≌△CDE(SSS).

(2)由△AEF≌△CDE,得∠FEA=∠EDC(對(duì)應(yīng)角相等)，

∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF(等量代換)

△DEF是等邊三角形(已知)，

∴∠DEF=60°(等邊三角形的性質(zhì))，

∴∠BCA=60°(等量代換)，

由△AEF≌△CDE，得∠EFA=∠DEC，

∵∠DEC+∠FEC=60°，

∴∠EFA+∠FEC=60°，

又∠BAC是△AEF的外角，

∴∠BAC=∠EFA+∠FEC=60°，

∴△ABC中,AB=BC(等角對(duì)等邊).

∴△ABC是等邊三角形(等邊三角形的判定).