【題目】如圖1,點A、B、C分別是⊙O上不重合的三點,連接AC、BC.

(1)如圖2,點P是直線AB上方且在⊙O外的任意一點, 連接AP、BP.試比較∠APB與∠ACB的大小關系,并說明理由;

(2) 若點P是⊙O內(nèi)任意一點, 連接AP、BP,比較∠APB與∠ACB大小關系;

(3)如圖3,在平面直角坐標系xOy中,點A與點B的坐標分別是(1,0),(5,0),點P是直線y=-x上一動點,當∠APB取得最大值時,直接寫出點P的坐標,并簡要說明點P的位置是如何確定的.

【答案】(1)∠APB<∠ACB;(2)∠APB>∠ACB;(3).

【解析】

(1)設AP與⊙O交于點E,連接AE,根據(jù)圓周角定理可知∠AEB=∠ACB,再由三角形外角的性質(zhì)可得∠AEB>∠APB,由此可得出結論;

(2)設BP的延長線與⊙O交于點D,連接AD,根據(jù)圓周角定理可知∠D=∠C,再由三角形外角的性質(zhì)可得∠D<∠APB,由此可得出結論;

(3)由三角形外角的性質(zhì)可證得:在同圓或等圓中,同弧所對的圓周角大于同弧所對的圓外角.要∠APB最大,只需構造過點A、點B且與直線y=-x相切的圓,切點就是使得∠APB最大的點P,然后結合切線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、勾股定理等知識即可解決問題.

(1)∠APB<∠ACB

如圖,不妨設PB交AB上方圓弧于點E,連接AE.

∵ ∠AEB△PAE的外角

∴ ∠AEB>∠APB

∵ ∠AEB=∠ACB

∴ ∠APB<∠ACB

(2)∠APB>∠ACB,

在圖中,延長BP交圓于點D,連接AD.

∵∠D=∠C,

又∵∠D<∠APB,

∴∠APB>∠ACB.

(3),

在線段AB的垂直平分線上找一點Q,當以點Q為圓心、QA為半徑的圓與直線y=-x相切于第四象限時,則切點即為所要確定的點P的位置.

如圖,⊙Q切直線于點P,作AB的垂直平分線CQ.

設CQ的長為x,由條件可知:OA=1,OC=CE=3,

則QE=3-x,QD=,

Rt△AQC中,,

,

解得:顯然點P在第四象限比在第二象限時∠APB更大,

,

,

∴P.

練習冊系列答案
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