Question

【題目】如圖，已知直線(xiàn)y=﹣2x+8與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、C，以O(shè)A、OC為邊在第一象限內(nèi)作長(zhǎng)方形OABC．

（1）求點(diǎn)A、C的坐標(biāo)；
（2）將△ABC對(duì)折，使得點(diǎn)A的與點(diǎn)C重合，折痕交AB于點(diǎn)D，求直線(xiàn)CD的解析式；
（3）在（2）的條件下，坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P（除點(diǎn)B外），使得△APC與△ABC全等？若存在，直接寫(xiě)出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：令y=0，則﹣2x+8=0，解得x=4，
∴A（4，0），
令x=0，則y=8，
∴C（0，8）
（2）解：由折疊可知：CD=AD，
設(shè)AD=x，則CD=x，BD=8﹣x，
由題意得，（8﹣x）2+42=x2 ，
解得x=5，
此時(shí)AD=5，
∴D（4，5），
設(shè)直線(xiàn)CD為y=kx+8，
把D（4，5）代入得5=4k+8，解得k=﹣ ，
∴直線(xiàn)CD的解析式為y=﹣ x+8
（3）解：①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，△APC≌△CBA，此時(shí)P（0，0）
②當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，如圖1，

由△APC≌△CBA得∠ACP=∠CAB，
則點(diǎn)P在直線(xiàn)CD上．過(guò)P作PQ⊥AD于點(diǎn)Q，
在Rt△ADP中，
AD=5，AP=BC=4，PD=BD=8﹣5=3，
由AD×PQ=DP×AP得：5PQ=3×4，
∴PQ= ，
∴xP=4+ = ，把x= 代入y=﹣ x+8得y= ，
此時(shí)P（ ， ）
③當(dāng)點(diǎn)P在第二象限時(shí)，如圖2，

同理可求得：PQ= ，
在RT△PCQ中，CQ= = = ，
∴OQ=8﹣ = ，
此時(shí)P（﹣ ， ），
綜上，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P有三個(gè)，分別為：（0，0），（ ， ），（﹣ ， ）
【解析】（1）已知直線(xiàn)y=-2x+8與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、C，即可求得A和C的坐標(biāo)。
（2）根據(jù)題意可知△ACD是等腰三角形，求出AD長(zhǎng)即可求得D點(diǎn)坐標(biāo)，最后即可求出CD的解析式。
（3）將點(diǎn)P在不同象限進(jìn)行分類(lèi)，根據(jù)全等三角形的判定方法找出所有全等三角形，找出符合題意的點(diǎn)P的坐標(biāo)。