Question

（2013•湖州一模）如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，Rt△AOB的直角邊OA在x軸的正半軸上，點(diǎn)B在第一象限，并且AB=3，OA=6，將△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度得到△COD．點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)（不含點(diǎn)C），沿射線DC方向運(yùn)動(dòng)，記過點(diǎn)D，P，B的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a＜0）．
（1）直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（2）在直線CD的上方是否存在一點(diǎn)Q，使得點(diǎn)D，O，P，Q四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是菱形？若存在，求出P與Q的坐標(biāo)．
（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到∠DOP=45度時(shí)，求拋物線的對(duì)稱軸．
（4）求代數(shù)式a+b+c的值的取值范圍（直接寫出答案即可）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得OC=OA，CD=AB，然后根據(jù)點(diǎn)D在第二象限寫出坐標(biāo)即可；
（2）根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直平分可得CD=CP，CQ=OC，然后寫出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)即可；
（3）延長(zhǎng)AB交直線DP于H，連接BP，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠AOB=∠COD，OA=OD，然后求出∠BOP=45°，從而得到∠BOP=∠DOP，再利用“邊角邊”證明△BOP和△DOP全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得PB=PD，設(shè)P（x，6），然后求出四邊形OAHC是正方形并表示出PB、PH、BH，在Rt△PBH中，利用勾股定理列方程求出x的值，再根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求出對(duì)稱軸即可；
（4）根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性和最值問題可得點(diǎn)C、P重合時(shí)，x=1時(shí)，a+b+c的值最小，然后利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，再求出x=1時(shí)的函數(shù)值，即可得解．

解答：解：（1）∵△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度得到△COD，
∴OC=OA=6，CD=AB=3，
∵點(diǎn)D在第二象限，
∴D（-3，6）；

（2）在直線CD的上方是否存在一點(diǎn)Q，使得點(diǎn)D，O，P，Q四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是菱形．理由如下：
∵四邊形DOPQ是菱形，
∴CD=CP=3，CQ=OC=6，
∴OQ=6+6=12，
∴點(diǎn)P（3，6），Q（0，12）；

（3）如圖，延長(zhǎng)AB交直線DP于點(diǎn)H，連接BP，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，∠AOB=∠COD，OA=OD，
∵∠DOP=45°，
∴∠DOC+∠COP=∠AOB+∠COP=45°，
∴∠BOP=90°-（∠AOB+∠COP）=90°-45°=45°，
∴∠BOP=∠DOP，
在△BOP和△DOP中，

OA=OD ∠BOP=∠DOP OP=OP

，
∴△BOP≌△DOP（SAS），
∴PB=PD，
設(shè)P（x，6），
則PB=DP=x+3，
在正方形OAHC中，PH=6-x，BH=6-3=3，
在Rt△BPH中，由勾股定理得，PH²+BH²=PB²，
∴（6-x）²+3²=（3+x）²，
解得，x=2，
∴P（2，6），
又∵D（-3，6），
∴對(duì)稱軸是直線x=

-3+2

2

=-

1

2

；

（4）∵B（6，3），D（-3，6）在拋物線上，
∴

36a+6b+c=3 9a-3b+c=6

，
∴b=-3a-

1

3

，c=5-18a，
∴a+b+c=-20a+

14

5

，
可得開口越小，a+b+c越大，
∴點(diǎn)C、P重合時(shí)，x=1時(shí)，a+b+c的值最小，
此時(shí)，P（0，6），
∵B（6，3），D（-3，6）在拋物線上，
∴

36a+6b+c=3 9a-3b+c=6 c=6

，
解得

a=- 1 18 b=- 1 6 c=6

，
∴拋物線的解析式為y=-

1

18

x²-

1

6

x+6，
當(dāng)x=1時(shí)，a+b+c=-

1

18

-

1

6

+6=

52

9

，
∴代數(shù)式a+b+c的值的取值范圍為a+b+c＞

52

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的對(duì)稱性，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，（3）利用勾股定理列式求解得到點(diǎn)P的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，（4）判斷出點(diǎn)C、P重合時(shí)代數(shù)式的值最小是解題的關(guān)鍵．