Question

如圖1，矩形OABC，O為原點，點E在AB上，把△CBE沿CE折疊，使點B落在OA邊上的點D處，A、D坐標分別為（10，0）和（6，0），拋物線過點C、B．
（1）求B點的坐標及該拋物線的解析式；
（2）如圖2，矩形PQRS的長、寬一定，點P沿（1）中的拋物線滑動，在滑動過程中PQ∥x軸，且RS在PQ的下方，當P點橫坐標為-1時，點S位于x軸上方且距離x軸個單位．當矩形PQRS在滑動過程中被x軸分成上下兩部分的面積比為2：3時，求點P的坐標；
（3）如圖3，動點M、N同時從點O出發(fā)，點M以每秒3個單位長度的速度沿線段OD運動，點N以每秒8個單位長度的速度沿折線OCD按O→C→D的路線運動，當M、N中的其中一點停止運動時，另一點也停止運動．設M、N同時從點O出發(fā)t秒時，△OMN的面積為S．求S與t的函數(shù)關系式，并寫出t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由矩形OCBA得：∠COA=∠BAO=90°，OC=AB，BC=OA=10；
由△CBE沿CE翻折得到△CED，得 CD=CB=10，
由勾股定理得：，
得：C（0，8），B（10，8）；
又C、B均在上，代入，得：
，解得
∴．

（2）當x=-1時，，此時；
又由S距離x軸上方個單位，得：，∴矩形PQRS的長為8．
設PQRS在下滑過程中交x軸分別于G、H兩點．
則由題意知：，即
∴；
故P的縱坐標為，設，則：
，得：a₁=4，a₂=6
∴或．

（3）①當0≤t≤1時，此時M在OD上，N在OC上．
∴；
②當1＜t≤2時，此時M在OD上，N在CD上．則DN=18-8t
過N作NH⊥OD于H，則，得：
=
∴==；
綜上，．
分析：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：CD=CB，因此在已知A、D的坐標情況下，能得到CB、CD、OD的長，在Rt△OCD中，利用勾股定理即可求出OC的長，則B點坐標可求；再利用待定系數(shù)法就能求得拋物線的解析式．
（2）將點P的橫坐標-1代入（1）的拋物線解析式中即可求得點P到x軸的距離，再由“點S位于x軸上方且距離x軸個單位”即可求出PS的長；當矩形PQRS的面積被x軸分割成上2下3時，由于兩個小矩形的寬相同，所以它們的面積比等于長的比，即此時的PS被x軸分割成上2下3的情況，結(jié)合PS的長，即可得到此時點P的縱坐標，代入拋物線的解析式中就能求得點P的坐標．
（3）由于點N的運動過程為：O→C→D，所以整體要分兩個階段考慮：
①點N在線段OC上時，首先用t表達出OM、ON的長，以OM為底、ON為高，不難得到△OMN的面積S與t的函數(shù)關系式；
②點N在線段CN上時，OM的長易知，關鍵是求出OM上的高，先過點N作OD的垂線NH，由∠CDO的正弦值可求出NH的表達式，以OM為底、NH為高即可求得關于S、t的函數(shù)關系式．
點評：題目的敘述和給出的圖形看起來較為復雜，但通過讀題后可以發(fā)現(xiàn)題目的難度并不大；（1）題中，利用好折疊圖形的特點是關鍵；（2）題中，只要求出PS的長題目也就解了一大半；最后一題求的是分段函數(shù)，三角形面積的求法應熟練掌握，在對自變量進行分段時，要注意抓住“關鍵點”（即點N、C重合時），這在解答此類題目時是通用的方法．