Question

（2002•呼和浩特）如圖，在直角坐標系中，點O’的坐標為（2，0），OO’與x軸交于原點O和點A，B、C、E三點的坐標分別為（-1，0），（0，3）和（0，p），且0＜p≤3．
（1）求經(jīng)過點B、C的直線的解析式；
（2）當點E在線段OC上移動時，直線BE與⊙O'有哪幾種位置關系？當P分別在什么范圍內取值時，直線BE與⊙O'是這幾種位置關系？
（3）設過點A、B、E的拋物線的頂點是D，求四邊形ABED的面積的最大或最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知了B、C的坐標，可利用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式．
（2）直線與圓的位置關系有三種：相切、相交、相離，此題可先求出相切時p的值，然后再分段討論其他兩種情況；當直線BE與⊙O′相切時，設切點為M，連接O′M，在Rt△BO′M中，BO′=3，O′M=2，利用勾股定理可求得BM的長，進而由△BOE∽△BMO′得到的比例線段求出OE的長，也就求出了此時p的值，進而可得到相交和相離時，p的取值范圍．
（3）根據(jù)圓心O′的坐標及圓的半徑可求得A點的坐標，然后根據(jù)A、B、E三點坐標，表示出該拋物線的解析式（含p的式子），然后將所得關系式化為頂點坐標式，即可得到頂點D的坐標；由于四邊形ABED的面積無法直接求得，可連接OD，將其面積分割成△BOE、△OED、△ODA三部分，可分別求出各部分的面積，進而可得到四邊形ABED的面積表達式，然后利用p的取值范圍，可求出它的最大（小）面積．
解答：解：（1）設B、C點所在直線為：y=kx+b，則有：
?；
∴所求直線為y=3x+3．

（2）直線BE與⊙O′有相離、相切、相交三種位置關系；
設BE切⊙O′于點M，連接O′M，必有∠O′MB=90°，
y軸為過O′O端點O和O′O垂直的直線；
∴當0＜p＜時，BE與⊙O′相交；
p=時相切；＜p≤3時相離．

（3）點A坐標（4，0），設過A、B、E點的拋物線為y=ax²+bx+c，有：

即；
∴拋物線解析式為y=-x²+px+p=-（x-）²+；
∴頂點D（，）；
連接OD，則S_ABED=S_△BOE+S_△OED+S_△ODA
=×1×p+×p×+×4×=；
∵0＜p≤3，
∴p=3時，S_ABED有最大值為．
點評：此題考查了用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式的方法、圖形面積的求法、直線與圓的位置關系等知識，難度適中．