Question

【題目】如圖1，矩形擺放在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，，，過點(diǎn)的直線交矩形的邊于點(diǎn)，且點(diǎn)不與點(diǎn)、重合，過點(diǎn)作，交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．

（1）若為等腰直角三角形．

①求直線的函數(shù)解析式；

②在軸上另有一點(diǎn)的坐標(biāo)為，請(qǐng)?jiān)谥本�和軸上分別找一點(diǎn)、，使 的周長(zhǎng)最小，并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)和周長(zhǎng)的最小值．

（2）如圖2，過點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，若以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求直線的解析式．

Answer 1

【答案】（1）①直線解析式， ②N(0,),周長(zhǎng)的最小值為；（2）.

【解析】

（1）①利用矩形的性質(zhì)確定A、B、C點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用等腰三角的性質(zhì)確定，所以，確定P點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)A點(diǎn)的坐標(biāo)確定確定直線AP的函數(shù)表達(dá)式. ②作G點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)G'(-2,0)，作點(diǎn)G關(guān)于直線AP對(duì)稱點(diǎn)G'(3,1)

連接G'G'交y軸于N，交直線AP于M，此時(shí)ΔGMN周長(zhǎng)的最小．（2）過P作PM⊥AD于M，先根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明DM=MA ，再根據(jù)角角邊定理證明ΔODE≌ΔMDP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)P、D的坐標(biāo)，代入直線解析式得k=2,b=-2，所以直線PE的解析式為y=2x-2.

（1）①∵矩形，

∴，

∵為等腰直角三角形

∴

∵

∴

∵

∴

∴

∴

設(shè)直線解析式，過點(diǎn)，點(diǎn)

∴ ∴

∴直線解析式

②作點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)

連接交軸于，交直線于，此時(shí)周長(zhǎng)的最�。�

∵

∴直線解析式

當(dāng)時(shí)，，∴

∵

∴周長(zhǎng)的最小值為

（2）如圖：作于

∵ ∴且

∴，且 ∴

∵四邊形是平行四邊形 ∴

又∵

∴

∴ ∴

∵ ∴

∴

設(shè)直線的解析式

∴

∴直線解析式