Question

如圖，∠AOB=45°，角內(nèi)一點(diǎn)P，PO=10，兩邊上各有點(diǎn)Q，R（均不同于O），則△PQR的周長(zhǎng)的最小值為______

Answer 1

【答案】分析：設(shè)點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)是E，關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)是F，當(dāng)點(diǎn)R、Q在EF上時(shí)，△PQR的周長(zhǎng)=PQ+QR+PR=EF，此時(shí)周長(zhǎng)最小．
解答：解：如圖，作出點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)E，作出點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)F，連接EF，交OA于Q，交OB于R．連接PQ，PR，PE，PF，OE，OF．
則PQ=EQ，PR=RF，
則△PQR的周長(zhǎng)=PQ+QR+PR=EQ+QR+RF=EF．
∵∠AOP=∠AOE，∠POB=∠FOB，∠AOB=∠AOP+∠POB=45°，
∴∠EOF=90°，
又∵OE=OP，OF=OP，
∴OE=OF=10，
即△EOF是等腰直角三角形，
∴EF=OP=10，
所以△PQR的周長(zhǎng)的最小值為10．
點(diǎn)評(píng)：考查等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)的綜合應(yīng)用．