Question

如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的高，點(diǎn)E、F分別是邊AB、AC上的點(diǎn)，且EF∥BC．
（1）試說明△AEF是等腰三角形；
（2）試比較DE與DF的大小關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先利用等腰三角形的性質(zhì)得到∠B=∠C，再結(jié)合平行線的性質(zhì)得到∠AEF=∠AFE，利用等角對(duì)等邊即可證得；
（2）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)證得AD是線段EF的垂直平分線，然后根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)即可證得．

解答：解：（1）∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C．
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，即△AEF是等腰三角形；

（2）DE=DF．理由如下：
∵AD是等腰三角形ABC的底邊上的高，
∴AD也是∠BAC的平分線．
又∵△AEF是等腰三角形，
∴AG是底邊EF上的高和中線，
∴AD⊥EF，GE=GF，
∴AD是線段EF的垂直平分線，
∴DE=DF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，以及線段的垂直平分線的性質(zhì)，正確證明AD是線段EF的垂直平分線是關(guān)鍵．