Question

如圖，點A、B、C、D都在⊙O上，OC⊥AB，∠ADC=30°．
（1）求∠BOC的度數；
（2）求證：四邊形AOBC是菱形．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據垂徑定理得出=，再利用圓周角定理得出∠BOC的度數；
（2）根據等邊三角形的判定得出BC=BO=CO，進而利用（1）中結論得出AO=BO=AC=BC，即可證明結論．
解答：（1）解：∵點A、B、C、D都在⊙O上，OC⊥AB，
∴=，
∵∠ADC=30°，
∴∠AOC=∠BOC=2∠ADC=60°，
∴∠BOC的度數為60°；

（2）證明：∵=，
∴AC=BC，
AO=BO，
∵∠BOC的度數為60°，
∴△BOC為等邊三角形，
∴BC=BO=CO，
∴AO=BO=AC=BC，
∴四邊形AOBC是菱形．
點評：此題主要考查了菱形的判定以及垂徑定理和圓周角定理等知識，根據垂徑定理得出=是解決問題的關鍵．